Module : Nombres complexes

Exercice

Calculez les racines carrées de

(a) \(3+4i\)

Réponse

\(2+i\mbox{ et }-2-i\)

Aide

On résoud l'équation \(z^2=3+4i\) où \(z=x+yi\) (avec \(x\) et \(y\in\mathbb{R}\)) et on utilise la propriété \(|z^2|=|z|^2\).

Solution

\(\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=3\\ 2xy=4\\ x^2+y^2=\sqrt{3^2+4^2} \end{array}\right. \quad\iff\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=3\\ x^2+y^2=5\\ xy=2 \end{array}\right. \quad\iff\left\{\begin{array}{l} 2x^2=8\\ 2y^2=2\\ xy=2 \end{array}\right.\\ \iff\left\{\begin{array}{l} x^2=4\\ y^2=1\\ xy=2 \end{array}\right. \quad\iff\left\{\begin{array}{l} x=\pm 2\\ y=\pm 1\\ xy=2 \quad\textrm{(positif donc $x$ et $y$ de même signe)} \end{array}\right.\)

Les racines carrées de \(3+4i\)  sont donc \(2+i\) et \(-2-i\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(-4\)

Réponse

\(-2i\mbox{ et }2i\)

Aide

On résoud l'équation \(z^2=-4\) où \(z=x+yi\) (avec \(x\) et \(y\in\mathbb{R}\)) et on utilise la propriété \(|z^2|=|z|^2\).

Solution

\(\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4\\ 2xy=0\\ x^2+y^2=\sqrt{(-4)^2} \end{array}\right. \quad\iff\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4\\ x^2+y^2=4\\ xy=0 \end{array}\right. \quad\iff\left\{\begin{array}{l} 2x^2=0\\ 2y^2=8\\ xy=0 \end{array}\right.\\ \iff\left\{\begin{array}{l} x^2=0\\ y^2=4\\ xy=0 \end{array}\right. \quad\iff\left\{\begin{array}{l} x=0\\ y=\pm 2\\ \end{array}\right.\)

Les racines carrées de \(-4\) sont donc \(-2i\) et \(2i\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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