Théorie du module : Fonctions

Preuves

La parabole \(y=ax^2+bx+c\) est obtenue par deux translations successives de la parabole \(y=ax^2\).
On peut écrire
\(\begin{array}{rcl} ax^2+bx+c & = &ax^2+a\cdot \dfrac{b}{a}x+a\cdot\dfrac{c}{a} \\ &&\\ & = &a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}) \\ &&\\ & = &a\left(x^2+\dfrac{2b}{2a}x +\dfrac{c}{a}\right) \\ &&\\ & = &a\left(x^2+2\cdot\dfrac{b}{2a}\cdot x +\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right) \\ &&\\ & = &a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-a\left(\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\right) \\ &&\\ & = &a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2}{4a}-c\right) \\ &&\\ & = &a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right) \end{array} \)
 
La parabole \(y=ax^2+bx+c\) est donc de la forme \(y=a(x+k)^2-l\). Elle est donc obtenue par une translation horizontale suivie d'une translation verticale de la parabole \(y=ax^2\).

Théorie