Module : Fonctions
Exercice
Les fonctions suivantes sont-elles paires ou impaires ?
(a) \(\displaystyle f(x) = x +\frac{1}{x}\)
Réponse
\(f\) est impaire
Aide
Comparez \(f(-x)\) à \(f(x)\).
Solution
Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}_0\). Pour tout \(x\in\mbox{ Dom }f\), on a \(-x\in\mbox{ Dom }f\) et
\(f(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}=-x-\dfrac{1}{x}=-f(x).\)
La fonction est donc impaire.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\displaystyle f(x) = x^2 - \frac{1}{x}\)
Réponse
\(f\) n'est ni paire, ni impaire
Aide
Comparez \(f(-x)\) à \(f(x)\).
Solution
Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}_0\). Pour tout \(x\in\mbox{ Dom }f\), on a \(-x\in\mbox{ Dom }f\) et
\(f(-x)=(-x)^2-\dfrac{1}{-x}=x^2+\dfrac{1}{x}.\)
Vu que \(f(-x)\neq f(x)\) et \(f(-x)\neq -f(x)\), la fonction n'est ni paire, ni impaire.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \(\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)
Réponse
\(f\) est paire
Aide
Comparez \(f(-x)\) à \(f(x)\).
Solution
Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}_0\). Pour tout \(x\in\mbox{ Dom }f\), on a \(-x\in\mbox{ Dom }f\) et
\(f(-x)=(-x)^2+\dfrac{1}{(-x)^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}=f(x).\)
La fonction est donc paire.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.