Module : Fonctions

Exercice

Les fonctions suivantes sont-elles paires ou impaires ?

(a) \(\displaystyle f(x) = x +\frac{1}{x}\)

Réponse

\(f\) est impaire

Aide

Comparez \(f(-x)\) à \(f(x)\).

Solution

Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}_0\). Pour tout \(x\in\mbox{ Dom }f\), on a \(-x\in\mbox{ Dom }f\) et

\(f(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}=-x-\dfrac{1}{x}=-f(x).\)

La fonction est donc impaire.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\displaystyle f(x) = x^2 - \frac{1}{x}\)

Réponse

\(f\) n'est ni paire, ni impaire

Aide

Comparez \(f(-x)\) à \(f(x)\).

Solution

Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}_0\). Pour tout \(x\in\mbox{ Dom }f\), on a \(-x\in\mbox{ Dom }f\) et

\(f(-x)=(-x)^2-\dfrac{1}{-x}=x^2+\dfrac{1}{x}.\)

Vu que \(f(-x)\neq f(x)\) et \(f(-x)\neq -f(x)\), la fonction n'est ni paire, ni impaire.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)

Réponse

\(f\) est paire

Aide

Comparez \(f(-x)\) à \(f(x)\).

Solution

Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}_0\). Pour tout \(x\in\mbox{ Dom }f\), on a \(-x\in\mbox{ Dom }f\) et

\(f(-x)=(-x)^2+\dfrac{1}{(-x)^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}=f(x).\)

La fonction est donc paire.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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Théorie