Repères et vecteurs : Test préliminaire

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs  \(\vec{a}=(-2,3,1), \ \vec{b}=(7,4,5)\) et \(\vec{c}=(1,-5,2)\).  Calculez le produit scalaire  \(\vec{a}\odot(\vec{b}+\vec{c})\).

Déterminez m en sachant que le point \(P=(2,1,5)\) est à une distance \(7\) du milieu du segment joignant \(A=(1,2,3)\) à \(B=(-1,6,m)\).

Si \(\vec a=(1,-2,1),\ \vec b=(-1,2,1),\ \vec c=(2,0,-1)\) et \(\vec d=(0,1,1)\) alors \((\vec a\times\vec b)\odot(\vec c\times\vec d)=\)

On considère les vecteurs de composantes \((-\frac{2}{5},\frac{1}{3})\) et \((-\frac{3}{4},m)\). Déterminez \(m\) pour que ces deux vecteurs soient parallèles.

Soit \(P_1=(-1,2,3)\) et \(P_2=(2,-2,8)\). Les coordonnées du point M, milieu de \(\vec{P_1P_2}\) sont

Soit \(P_1=(-1,2,3)\) et \(P_2=(2,-2,8)\). Déterminez les coordonnées de \(P_3\) tel que \(\vec{P_1P_3}=3\, \vec{P_1P_2}\).

Déterminez \(\vec b=(\alpha,\beta,\gamma)\) pour que les vecteurs \(\vec a=(1,2,3)\) et \(\vec b\) vérifient les relations \(\vec a\times\vec b=(1,1,-1)\) et \(\vec a\odot\vec b=9\).

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs  \(\vec{a}=(c,-2,3)\) et \(\vec{b}=(c,c,-5)\).   Déterminez les valeurs de c pour que ces vecteurs soient orthogonaux.

Soit \(A=(-4,3)\), \(B=(-1,-2)\) et \(C=(5,1)\).  Déterminez \(D\) pour que \(\mbox{ABCD}\) soit un parallélogramme.

Soit \(A=(1,3),\ B=(-2,1)\) et \(C=(2,0)\). Le point \(D\) tel que \(\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}\) est