Module : Repères et vecteurs
Exercice
Soit \(A=(1,2,3)\), \(B=(3,2,2)\) et \(C=(5,5,6)\) trois points de l'espace.
(a) Donnez la longueur du segment joignant \(A\) et \(B\).
Réponse
\(||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{5}\)
Aide
Si \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(b_x-a_x,b_y-a_y,b_z-a_z)\) alors
\(\|\vec{u}\| =\|\overrightarrow{AB}\| =\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}.\)
Solution
Les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont données par
\(\overrightarrow{AB}=(3-1,2-2,2-3)=(2,0,-1).\)
La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est
\(||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{2^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) Montrez que le triange \(ABC\) est rectangle. Précisez où se situe l'angle droit.
Réponse
L'angle en B est droit.
Aide
Calculez les composantes des vecteurs \(\overrightarrow{AB} \), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC} \).
Calculez ensuite leur produit scalaire deux à deux. Si ce produit scalaire est nul, alors les vecteurs sont orthogonaux.
Solution
On calcule \(\overrightarrow{AB}=(3-1,2-2,2-3)=(2,0,-1) \), \(\overrightarrow{AC}=(5-1,5-2,6-3)=(4,3,3)\) et \(\overrightarrow{BC}=(5-3,5-2,6-2)=(2,3,4) \).
On vérifie ensuite que \(\overrightarrow{AB}\odot\overrightarrow{BC}=2\cdot 2+0\cdot 3-1\cdot 4=0\) et donc que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont orthogonaux.
Cela implique que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).