Théorie du module : Systèmes

Système de plus de deux équations

Qu'en est-il maintenant si on a plus de deux équations dans \(\mathbb{R}^2\) ? Considérons un système de \(m\) équations à deux inconnues

(1.2)

\(\left\{\begin{array}{rlcl} a_1 x & + &b_1 y & = & c_1 \\ a_2 x & + &b_2 y & = & c_2 \\ &&{\vdots}&\\ a_m x & + & b_m y & = & c_m \end{array}\right.\)

Définissons \(S\) l'ensemble des solutions du système (1.2) :

\(S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: (x, y) \text{ satisfait (}\)1.2\()\}\)

Géométriquement, pour appartenir à \(S\), il faut appartenir à chacune des droites qui correspondent aux différentes équations du système (1.2). A nouveau, plusieurs cas sont possibles concernant l'intersection des droites.

  • Les droites sont sécantes pas toutes au même point - Dans ce cas, il n'y a pas d'intersection commune aux \(m\) droites.
  • Les droites sont toutes sécantes au même point - Dans ce cas, l'intersection se réduit à un point unique, le seul commun aux \(m\) droites.
  • Il y a deux droites parallèles disjointes - Dans ce cas, comme il n'y a pas d'intersection entre les deux droites parallèles disjointes, il n'y a donc pas d'intersection commune aux \(m\) droites.

En pratique, il suffit de considérer deux droites et de prendre leur intersection en résolvant le système constitué de leurs seules deux équations. Si ce système a une solution, on regarde si elle satisfait les autres équations. S'il n'a pas de solution alors le système complet n'aura pas de solution.

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