Théorie du module : Systèmes

Exemples détaillés

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0 \\ 4x-5y+30=0 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : Nous allons le résoudre par deux méthodes.

Méthode de combinaison : On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-4 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 4x+6y=-8 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 11y=22 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ 4x-10=-30 \end{array} \right.\) \( \left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ 4x=-20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ x=-5 \end{array} \right.\)  

 

et donc \( S=\{(-5,2)\}\).

Méthode de substitution : On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0 \\ 4x-5y+30=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0\\ 5y=4x+30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0\\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3(\frac{4}{5}x+6)+4=0 \\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{22}{5}x+22=0 \\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=-5 \\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} x=-5 \\ y=\frac{4}{5}(-5)+6 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=-5 \\ y=2 \end{array} \right. \)  

 

et donc \(S=\{(-5,2)\}\).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=1\\ x-y=2 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : En utilisant le calcul matriciel, le système peut s'écrire sous la forme matricielle

\(AX=B\)

\(A=\left( \begin{array}{cc} 2&3\\ 1&-1 \end{array} \right)\), \(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \) et \(B=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right).\)

Puisque det\((A)=-5\neq 0 \), la matrice \(A\) est inversible et la solution du système est donnée par

\(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) =A^{-1}B= \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{5}& \dfrac{3}{5}\\ \dfrac{1}{5}&- \dfrac{2}{5} \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \dfrac{7}{5}\\ - \dfrac{3}{5} \end{array} \right),\)

donc \(S=\{( \frac{7}{5},- \frac{3}{5})\} \).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0 \\ xy-x^{2}+3y+9=0 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0 \\ y(x+3)-(x^2-9)=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0\\ y(x+3)-(x-3)(x+3)=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0\\ (x+3)(y-x+3)=0 \end{array} \right.\)

 

Ce système se décompose en 4 systèmes plus simples :

  • \(\left\{ \begin{array}{l} 2x-1+y=0 \\ x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x-1+y=0\\ x=-3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} -6-1+y=0\\ x=-3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=7\\ x=-3 \end{array} \right.\)

     

  • \(\left\{ \begin{array}{l} y+1=0 \\ x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ x=-3 \end{array} \right.\)

     

  • \(\left\{ \begin{array}{l} 2x-1+y=0 \\ y-x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1\\ -x+y=-3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1\\ 3x=4 \end{array} \right.\)
    \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1 \\ x=\frac{4}{3} \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{8}{3}+y=1\\ x=\frac{4}{3} \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{-5}{3}\\ x=\frac{4}{3} \end{array} \right.\)

     

  • \(\left\{ \begin{array}{l} y+1=0 \\ y-x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ y-x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ -1-x+3=0 \end{array} \right.\)

    \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1 \\ x=2 \end{array} \right.\)

     

Finalement, on obtient quatre solutions : \(S=\{(-3,7),\, (-3,-1),\, (\frac{4}{3},\frac{-5}{3}),\, (2,-1) \}\).

Remarque : Cliquez sur les liens pour plus de détails concernant la factorisation et la résolution d'équations.

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} x+y-2z=-1\\ 2x-3y+4z=-9\\ -x-2y+6z=2 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On va utiliser la méthode de Gauss.  Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&-2\\ 2&-3&4\\ -1&-2&6 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -1\\ -9\\ 2 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 2&-3&4&-9\\ -1&-2&6&2 \end{array} \right) \)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3+L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 0&-5&8&-7\\ 0&-1&4&1 \end{array} \right) \\[1cm] L_3 \leftrightarrow L_3- \dfrac{1}{5}L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 0&-5&8&-7\\ 0&0& \dfrac{12}{5}& \dfrac{12}{5} \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=3 \).  Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)=n \), le système a une solution unique.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 0&-5&8&-7\\ 0&0& \dfrac{12}{5}& \dfrac{12}{5} \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&-2\\ 0&-5&8\\ 0&0& \dfrac{12}{5} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -1\\ -7\\ \dfrac{12}{5} \end{array} \right)\)  ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x+y-2z=-1\\ -5y+8z=-7\\ \dfrac{12}{5}z= \dfrac{12}{5} \end{array} \right. \)

On en déduit \(z=1 \), \(y= \frac{-7-8}{-5}=3\) et \(x=-1-3+2=-2 \).  L'unique solution est \((x,y,z)=(-2,3,1) \), donc \(S=\{(-2,3,1)\} \).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0\\ 2x+y-z=-3\\ -x-2y-4z=-3\\ 2x-4z=-6 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On va utiliser la méthode de Gauss.  Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 2&15&-1\\ -1&-2&-4\\ 2&0&-4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ -3\\ -3\\ -6 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 2&15&-1&-3\\ -1&-2&-4&-3\\ 2&0&-4&-6 \end{array} \right) \)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3+L_1\\ L_4 \rightarrow L_4-2L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&-2&-6&-6 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3-L_2 \\ L_4 \rightarrow L_4-2L_2 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=2\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \).  Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)\neq 3 \), le système a une infinité de solutions.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 0&-1&-3 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ -3 \end{array} \right)\)  ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0\\ -y-3z=-3 \end{array} \right. \)

On fixe \(z=k \).

On en déduit \(y=3-3k\) et \(x=-3+3k-k=2k-3 \).

Les solutions sont donc de la forme \((x,y,z)=(2k-3,3-3k,k)\) pour \(k\in\mathbb{R} \).

Par exemple : \((-3,3,0) , (-1,0,1) , (1,-3,2) , (-5,6,-1) , \ldots\) sont des solutions de ce système.

On a donc \(S=\{(2k-3,3-3k,k);\, k\in\mathbb{R}\} \).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} x-y+z=0\\ -2x+y-z=-2\\ x+2y-2z=-2 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On va utiliser la méthode de Gauss.  Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&1\\ -2&1&-1\\ 1&2&-2 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ -2\\ -2 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&0\\ -2&1&-1&-2\\ 1&2&-2&-2 \end{array} \right)\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2+2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3-L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&0\\ 0&-1&1&-2\\ 0&3&-3&-2 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3+3L_2 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&0\\ 0&-1&1&-2\\ 0&0&0&-8 \end{array} \right) \end{array}\)

Vu que \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \), le système n'a pas de solution. En effet, la dernière ligne obtenue après échelonnement mène à l'équation

\(0x + 0y+0z=-8\)

ce qui est impossible. Donc \(S=\emptyset \).

 

  1. Trouver un nombre à deux chiffres tel que la différence entre 4 fois le chiffre des unités et trois fois le chiffre des dizaines soit égale à \(1\), et que renversé, le nombre diminue de \(9\)

Solution détaillée : Appelons \(x\) le chiffre des dizaines et \(y\) le chiffre des unités. Le nombre cherché est \(10x+y\). Il faut résoudre le système

\(\left\{ \begin{array}{l} 4y-3x=1\\ 10y+x=10x+y-9 \end{array} \right. \)

On a

\(\left\{ \begin{array}{l} -3x+4y=1 \\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 9x-12y=-3\\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} -3y=-12\\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ -9x+36=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ 9x=45 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ x=5 \end{array} \right.\)  

 

Le nombre cherché est donc \(54\).

 

  1. Un bateau à moteur, fonctionnant à plein régime, parcourt 4 km en remontant la rivière (contre un courant constant) en 15 minutes (= 1/4 heure). Le retour (avec le même courant et à plein régime) prend 12 minutes (=1/5 heure). Trouver la vitesse du courant et la vitesse propre du bateau en eau calme.

Solution détaillée : Définissons les inconnues de notre système : soit \(x\) la vitesse du bateau (en km/h), \(y\) la vitesse du courant (en km/h). Lors de la remontée, le courant ralentit le bateau; la vitesse à la remontée est donc de \(x-y\) (en km/h). Lors de la descente, le courant augmente la vitesse du bateau; la vitesse à la descente est donc de \(x+y\) (en km/h).
Rappelons que la distance \(s\) parcourue à une vitesse \(v\) pendant un temps \(t\) vaut \(s=vt\).

Ici, nous obtenons le système

\(\left\{\begin{array}{l} 4=\frac{1}{4}(x-y) \\ 4=\frac{1}{5}(x+y) \end{array} \right.\)

c'est-à-dire

\(\left\{ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{rcrcl} x & - & y & = & 16 \\ x & + & y & = & 20 \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \right.\)

On a

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x=36\\ x+y=20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} x=18\\ x+y=20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} x=18\\ 18+y=20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} x=18 \\ y=2 \end{array} \right.\)

 

La vitesse du courrant est de \(2\) km/h et celle du bateau est de \(18\) km/h.

Théorie