Théorie du module : Ensembles
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(a) Définitions et propriétés
Définition - Un ensemble est une collection d'objets qui sont ses éléments.
On adopte souvent (mais pas obligatoirement) des lettres majuscules pour désigner les ensembles et des lettres minuscules pour désigner les éléments.
Définition - Si a est un élément de l’ensemble A, on dit que a appartient à A et on écrit
\(a\in A. \)
Si b n’est pas un élément de A, on dit que b n’appartient pas à A et on écrit
\(b\notin A.\)
La théorie des ensembles est en fait une théorie de cette relation d’appartenance. D’où l’importance de décrire avec précision un ensemble, de sorte qu’il n’y ait aucune ambiguïté sur l’appartenance ou la non appartenance d’un objet à cet ensemble.
Description d’un ensemble – Il y a essentiellement deux manières de décrire un ensemble : en extension et en compréhension.
- en extension : la manière la plus simple de décrire un ensemble est de citer ses éléments. Ceux-ci sont écrits entre deux accolades et séparés les uns des autres par des virgules. L’ordre dans lequel ils figurent n’a pas d’importance.
Par exemple, l'ensemble \(A\) constitué des lettres \(a,\, b,\, c\) et \(d\) s'écrit
\(A=\{a,b,c,d\}.\)
- en compréhension : si un ensemble comporte un grand nombre d'éléments, il est impossible de les énumérer et il faut dès lors recourir à une description sous forme de critère d'appartenance. Dans une telle situation, il est important de spécifier quel est l'ensemble initial, dit ensemble universel ou ensemble de référence, d'où proviennent les éléments.
Par exemple, l'ensemble des nombres \(x\) qui vérifient le critère \(x>5\) est différent selon que l'on admet pour \(x\) d'être entier ou rationnel :
\(A=\{x : x \mbox { entier et }\ x>5\},\)
\(B=\{x : x \mbox { rationnel et }\ x>5\},\)
ainsi,\(\frac{26}{5}\) est un élément de \(B\) et n'est pas un élément de \(A\).
Ensembles particuliers
-
l'ensemble vide qui, par définition, ne contient aucun élément. On le note \(\emptyset\). Ainsi, un ensemble défini par une proposition contradictoire est égal à l'ensemble vide.
Par exemple
\(A=\left\{x : x\in\mathbb{R} \mbox{ et }x^2+1=0\right\}=\emptyset.\)
-
un ensemble qui n'a qu'un élément s'appelle un singleton. C'est le cas de l'ensemble
\(A=\{a\}\)
car il n'y a qu'un objet, à savoir \(a\), pour lequel on puisse écrire \(a\in A.\)
Définitions - Si tous les éléments d'un ensemble \(A\) sont aussi les éléments d'un ensemble \(B\) (supposé non vide), on dit que \(A\) est inclus dans \(B\) et on écrit
\(A\subseteq B.\)
On dit aussi que \(A\) est un sous-ensemble de \(B\) ou que \(A\) est une partie de \(B\).
Par définition, on peut écrire
\(A\subseteq B\iff (\forall x)\,(x\in A\Rightarrow x\in B).\)
Par exemple, si \(A\) est l'ensemble des chiffres du système décimal et si \(B\) est l'ensemble des nombres pairs compris entre 2 et 8, on a
\(A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},\qquad B=\{2,4,6,8\}\)
et la relation \(B\subseteq A.\)
On vérifie sans peine que tout ensemble est inclus dans lui-même. Quel que soit l'ensemble \(A\), on peut écrire
\(A\subseteq A.\)
Une partie \(B\) de \(A\) qui serait distincte de \(A\) est appelée un sous-ensemble propre de \(A\) et on écrit une relation d'inclusion stricte
\(B\subset A.\)
L'égalité entre deux ensembles \(A = B.\) est réalisée s'ils ont exactement les mêmes éléments. Cette propriété est établie dès lors que l'on a vérifié qu'à la fois \(A\subseteq B.\) et \(B\subseteq A.\). C'est ainsi que démontrer l'égalité entre deux ensembles requiert souvent la démonstration de ces deux inclusions séparément.
Remarque : Il est important de bien saisir ce que représente la négation de l'inclusion : dès qu'au moins un élément de \(A\) n'est pas élément de \(B\) alors \(A\) n'est pas inclus dans \(B\), ou de manière équivalente
\(A \not\subseteq B \iff (\exists x)\,(x\in A \hbox{ et } x\not\in B).\)
Par exemple, l'ensemble \(A=\{ 3,4,5,6,7,8,10\}\) n'est pas un sous-ensemble de l'ensemble \(B\) des nombres pairs car \(A\) contient au moins un élément, par exemple \(7\), tel que \(7\in A\) et \(7\notin B.\)
La relation d'appartenance est une relation qui lie un ensemble à ses éléments. La relation d'inclusion est une relation qui lie deux ensembles. Ainsi, il n'y a pas de sens à écrire \(3\subset A.\) ou encore \(A\in B\) si \(A\) et \(B\) sont des ensembles.
Définition - Si d'un ensemble de référence \(U\), on extrait certains éléments pour former l'ensemble \(A\), on détermine en même temps l'ensemble complémentaire de \(A\) par rapport à \(U\), noté \(\, \overline A \). Cet ensemble \(\, \overline A \) est constitué des éléments de \(U\) qui n'ont pas été repris dans \(A\)
\(\, \overline A=\{x : x\in U \mbox{ et } x \notin A\}.\)
En particulier, \(\overline\emptyset=U\),\(\, \overline U=\emptyset\) et \(\overline{\overline A}=A\).
(b) Opérations entre ensembles
Effectuer des opérations sur deux ou plusieurs ensembles donnés permet d'en obtenir d'autres. Les principales opérations sont l'union, l'intersection et la différence.
Union et intersection d'ensembles
Définition - L'union de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l'un de ces ensembles
\(A\cup B=\{ x:x\in A \hbox{ ou } x\in B\}.\)
Par exemple
\(\{1,2\}\cup\{3,4\}=\{1,2,3,4\},\)
\(\{1,2,\}\cup \emptyset=\{1,2\}.\)
Définition - L'intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\)
\(A\cap B=\{ x:x\in A \hbox{ et } x\in B\}.\)
Par exemple
\(\{1,2,3\}\cap\{3,4,5\}=\{3\},\)
\(\{1,2,3\}\cap\emptyset=\emptyset.\)
Définition - Si deux ensembles n'ont aucun élément en commun, on dit qu'ils sont disjoints
\(A\cap B=\emptyset.\)
Par exemple
\(\{1,2\}\cap\{3,4,5\}=\emptyset.\)
Les lois de Morgan nous disent que le complément d'une intersection est la réunion des compléments et le complément d'une union est l'intersection des compléments :
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Définition - On emploie la notation \(A\setminus B\) pour désigner l'ensemble des éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\)
\(A\setminus B=\{x: x\in A \hbox { et } x\notin B\}.\)
Il est clair que \(A\setminus B=A\cap {\overline B.}\)
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Produit cartésien
Définition - Le produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\) est défini par
\(A\times B=\{(x,y): x\in A \hbox{ et } y\in B\}.\)
C'est l'ensemble des couples ordonnés \((x,y)\) que l'on peut former en prenant \(x\) dans \(A\) et \(y\) dans \(B\). La notation \(\times\) provient de ce que si \(A\) a 3 éléments et si \(B\) en a 2, l'ensemble \(A\times B\) en aura \(3\times 2=6.\)
Par exemple , si \(A=\{1,2,3\}\) et \(B=\{c,d\}\), alors
\(A\times B=\left\{(1,c),(1,d),(2,c),(2,d),(3,c),(3,d)\right\}.\)
Lorsque \(A=B=\mathbb{R}\), le produit cartésien de \(A\) par \(B\) est
\(A\times B=\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2=\{(x,y):x\in \mathbb{R} \hbox{ et }y\in\mathbb{R}\}.\)
Vocabulaire et notations :
- \(\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\) représente l'ensemble constitué des \(n\) éléments \(a_1, a_2\cdots a_n\). Tous ces éléments sont distincts. L'ordre dans lequel ils sont cités n'est pas important.
Dans le cas particulier où l'ensemble contient deux éléments, on parlera de paire \(\{a, b\}\). Si l'ensemble ne contient qu'un seul élément, on parlera de singleton \(\{a\}\). - \((a_1,a_2,\cdots, a_n)\)représente le \(n\)-uple formé des \(n\) éléments \(a_1,a_2\cdots a_n\). Ces éléments ne sont pas nécessairement distincts et sont considérés dans l'ordre indiqué.
Dans le cas particulier où le \(n\)-uple contient deux éléments, on parlera de couple (\(a, b\)). Le couple (\(a, b\)) est différent du couple (\(b, a\)) (pour \(a\) différent de \(b\)). Si le \(n\)-uple contient trois éléments, on parlera de triple (\(a, b, c\)). - \(a_1, a_2, \cdots \)représente la suite \((a_n)_n\). Cette suite est constituée d'une infinité d'éléments, pas nécessairement distincts et considérés dans l'ordre indiqué.