On a

\(A\cap B=\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\in B\}\)

et donc

\(\begin{array}{rcl} \overline {A\cap B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in (A\cap B)\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ ou }x\not\in B)\}. \end{array}\)

D'autre part,

\(\begin{array}{rcl} {\overline A}\cup{\overline B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in A\}\cup\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in B\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ ou }x\not\in B)\},\\ &=&\overline {A\cap B}. \end{array}\)

De même, on a

\(A\cup B=\{x\, :\, x\in A\mbox{ ou }x\in B\}\)

et donc

\(\begin{array}{rcl} \overline {A\cup B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in (A\cup B)\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ et }x\not\in B)\}. \end{array}\)

D'autre part,

\(\begin{array}{rcl} {\overline A}\cap{\overline B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in A\}\cap\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in B\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ et }x\not\in B)\},\\ &=&\overline {A\cup B}. \end{array}\)

Par définition, on a

\(A\setminus B=\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\not\in B\}.\)

Par ailleurs, on a aussi

\(A\cap {\overline B}=\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\not\in B\}\)

et donc \(A\setminus B=A\cap {\overline B}\).

La démonstration consiste à observer qu'un nombre décimal périodique simple (sa période commence immédiatement après la virgule) dont la partie entière est nulle est engendré par une fraction dontle numérateur est la période et dont le dénominateur est formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période. Par exemple, \(0,375\,375\,375\ldots\) est engendré par la fraction \(\frac{375}{999}\). En effet: si \(x=0,375\,375\, 375\ldots\), alors

\(1000 x=375,375\,375\,375\ldots=375+0,375\,375\, 375\ldots=375+x\)

d'où

\(999 x=375.\)

Considérons le schéma suivant qui suggère un rangement des fractions en un tableau comportant une infinité de lignes et une infinité de colonnes :

\(\begin{array}{ccccccccc} 1/1 && 1/2&&1/3&&1/4 &&\ldots \\ \\ 2/1 && 2/2&&2/3&&2/4 &&\ldots \\ \\ 3/1 && 3/2&&3/3&&3/4 &&\ldots \\ \\ 4/1 && 4/2&&4/3&&4/4 &&\ldots \\ \\ \vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots&& \end{array}\)

L'idée d'une correspondance bijective entre l'ensemble des fractions et l'ensemble des naturels est de suivre le tableau des fractions "en diagonale" en prenant la suite :

\(1/1, \ 1/2, \ 2/1, \ 1/3, \ 2/2, \ 3/1, \ 1/4, \ 2/3, \ 3/2, \ 4/1, \ 1/5, \ \ldots \)

On a bien une numérotation des fractions par les entiers naturels. On peut voir ainsi que les nombres rationnels peuvent être numérotés, qu'il y en a donc une infinité dénombrable.

Considérons l'ensemble \([0,1]\) de tous les nombres (rationnels ou irrationnels) entre \(0\) et \(1\) écrits en notation décimale illimitée. Par exemple \(1/3\) s'écrit \(0,33333\ldots\),\(1/4\) s'écrit \(0,250000\ldots\),\(\pi-3\) s'écrit \(0,14159\ldots\). Montrons que cet ensemble n'est pas dénombrable. On va raisonner par l'absurde : prenons une soi-disant bijection entre l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble \([0,1]\) et montrons qu'onarrive à une contradiction.
Supposons donc qu'il y ait une telle bijection. Il y aurait un premier nombre que l'on va écrire sous forme décimale:

\(x_1=0,a_1^1a_1^2a_1^3a_1^4\ldots\)

(\(a_1^1\)est la première décimale du premier nombre, \(a_1^2\) la deuxième décimale; la \(n^{e}\) décimale est notée \(a_1^{n}\)). Le deuxième nombre s'écrit:

\(x_2=0,a_2^1a_2^2a_2^3a_2^4\ldots\)

Le \(k^{e}\) nombre s'écrit:

\(x_k=0,a_k^1a_k^2a_k^3a_k^4\ldots\)

Et on continue indéfiniment. Cette soi-disant bijection doit reprendre tous les nombres de \([0,1]\). Montrons que ce n'est pas le cas.
En effet, on peut construire très facilement un nombre \(y\) de \([0,1]\) qui n'est pas repris dans l'énumération de la soi-disant bijection. Prenons le nombre \(y=0,b_1b_2b_3b_4\ldots\) dont:

1. la première décimale \(b_1\) n'est pas la première décimale \(a_1^1\) de \(x_1\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_1\));
2. la deuxième décimale \(b_2\) n'est pas la deuxième décimale \(a_2^2\) de \(x_2\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_2\));
3. la troisième décimale \(b_3\) n'est pas la troisième décimale \(a_3^3\)de \(x_3\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_3\))
4. et ainsi de suite \(\ldots\)
5. la \(k^{e}\) décimale \(b_k\) n'est pas la \(k^{e}\) décimale \(a_k^k\) de \(x_k\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_k\))
6. \(\ldots\)

Donc \(y\) n'est pas dans notre liste car pour tout \(k\) il diffère du \(k^{e}\) nombre de la liste au moins par sa \(k^{e}\) décimale. Quelle que soit la liste, énumérée par les entiers, il y a beaucoup de nombres qui ne sont pas dans la liste. L'ensemble \([0,1]\) n'est pas dénombrable.