(a) \(i(1+i)\)

\(|z|=\sqrt{2},\; \phi=\dfrac{3\pi}{4}\)

On calcule le module \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) et l'argument \(\phi\) tel que \(\cos \phi =\dfrac{a}{|z|}\) et \(\sin \phi =\dfrac{b}{|z|}\qquad(\phi\in]-\pi,\pi])\).

\(i(1+i)=i-1\)

On calcule \(|z|=\sqrt[]{1+1}=\sqrt{2}\) et

\(\cos\phi=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2},\; \qquad\sin\phi=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad\Rightarrow \phi=\dfrac{3\pi}{4}\)

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

(b) \(\dfrac{(1-i)^3}{4(1+i)^4}\)

\(|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{8},\; \phi=\dfrac{\pi}{4}\)

On calcule le module et l'argument des différents facteurs et on applique les règles de calcul des opérations sur les nombres complexes sous forme trigonométrique.

Soit \(z_1=1-i\).

On calcule \(r_1=\sqrt{2};\)

\(\left\{\begin{array}{l} \cos\phi_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\phi_1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{array}\right.\)

donc \(\phi_1=\dfrac{-\pi}{4}\).

Soit \(z_2=1+i\).

On calcule \(r_2=\sqrt{2};\)

\(\left\{\begin{array}{l} \cos\phi_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\phi_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{array}\right.\)

donc \(\phi_2=\dfrac{\pi}{4}\).

Soit \(z_3=4\).

On calcule \(r_3=4;\)

\(\left\{\begin{array}{l} \cos\phi_3=1\\ \sin\phi_3=0\\ \end{array}\right.\)

donc \(\phi_3=0\).

On obtient \(r=\dfrac{r_1^3}{r_2^4 \cdot r_3}=\dfrac{(\sqrt{2})^3}{(\sqrt{2})^4\cdot 4}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}\)

et \(\phi=3\phi_1-(\phi_3+4\phi_2)=3(\frac{-\pi}{4})-(0+4(\frac{\pi}{4}))=\frac{-7\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\).

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.