Décomposer le polynôme  \(z^4+2z^3+3z^2+4z+2\)   en un produit de polynômes du premier degré à coefficients complexes.

\((z+1)^2(z+\sqrt{2}i)(z-\sqrt{2}i)\)

On utilise la méthode de Horner puis la factorisation d'un polynôme du deuxième degré.

\(P(z)=z^4+2z^3+3z^2+4z+2\)

\(P(-1)=1-2+3-4+2=0\) donc \(P(z)\) est divisible par \((z+1)\)
\(\begin{array}{c|cccc|c} &1&2&3&4&2\\ -1&&-1&-1&-2&-2\\ \hline &1&1&2&2&0 \end{array}\)

\(P(z)=(z+1)(z^3+z^2+2z+2)\)

Factorisons \(z^3+z^2+2z+2\) : 

\(P(-1)=-1+1-2+2=0\) donc \(P(z)\) est divisible par \((z+1)\)
\(\begin{array}{c|ccc|c} &1&1&2&2\\ -1&&-1&0&-2\\ \hline &1&0&2&0 \end{array}\)

\(P(z)=(z+1)^2(z^2+2)\).

Finalement, \(P(z)=(z+1)^2(z-\sqrt{2}i)(z+\sqrt{2}i)\).

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.