Module : Calcul matriciel
Exercice
Calculez l'inverse des matrices suivantes
(a) \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\)
Réponse
\(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -7 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \)
Aide
Utilisez la méthode de la matrice compagnon.
Solution
Pour calculer l'inverse d'une matrice, on utilise la méthode de la matrice compagnon. On a ici
\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1\, \, &\, \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2\, \, &\, \, 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \to L_2 - 2L_3 \\ L_1 \to L_1 - L_3 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 0\, \, &\, \, 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\, \, &\, \, 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \to L_1 + 3L_2 \\ L_2 \to -L_2 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0\, \, &\, \, 1 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & 0\, \, &\, \, 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}\)
L'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\) est donc \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -7 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\left(\begin{array}{ccc} 1&0&-2 \\ -2&1&0 \\ 0&-2&1\end{array}\right)\)
Réponse
\(-\dfrac{1}{7}\, \left(\begin{array}{ccc} 1&4&2 \\2&1&4 \\ 4&2&1 \end{array}\right)\)
Aide
Utilisez la méthode de la matrice compagnon.
Solution
Pour calculer l'inverse d'une matrice, on utilise la méthode de la matrice compagnon. On a ici
\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2\, \, &\, \, 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0\, \, &\, \, 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ L_2 \to L_2 + 2L_1 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2\, \, &\, \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4\, \, &\, \, 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ L_3 \to L_3 + 2L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2\, \, &\, \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4\, \, &\, \, 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -7\, \, &\, \, 4 & 2 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ L_3 \to -\frac{L3}{7} \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2\, \, &\, \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4\, \, &\, \, 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, -\frac{4}{7} & -\frac{2}{7} & -\frac{1}{7} \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \to L_2 + 4L_3 \\ L_1 \to L_1+2L_3 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0\, \, &\, \, -\frac{1}{7} & -\frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \\ 0 & 1 & 0\, \, &\, \, -\frac{2}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, -\frac{4}{7} & -\frac{2}{7} & -\frac{1}{7} \end{array} \right) \end{array}\)
L'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1&0&-2 \\ -2&1&0 \\ 0&-2&1\end{array}\right)\) est donc \(-\dfrac{1}{7}\, \left(\begin{array}{ccc} 1&4&2 \\2&1&4 \\ 4&2&1 \end{array}\right)\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.