Module : Calcul matriciel

Exercice

Calculez le rang des matrices suivantes

(a) \( \left( \begin{array}{ccc} 2&-1&3\\ -4&2&-6\\ -2&1&-3 \end{array} \right)\)

Réponse

1

Aide

Commencer par échelonner la matrice.  Le rang est le nombre de lignes non nulles dans la matrice échelonnée.

Solution

Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.

\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 + 2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 + L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array}\)

La matrice échelonnée possède une seule ligne non-nulle, le rang de la matrice initiale est donc égal à 1.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \( \left( \begin{array}{ccc} 3&3&1\\ 2&4&5\\ 1&-1&7 \end{array} \right)\)

Réponse

3

Aide

Commencer par échelonner la matrice.  Le rang est le nombre de lignes non nulles dans la matrice échelonnée.

Solution

Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.

\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 3&3&1\\ 2&4&5 \\1&-1&7 \end{array} \right)\\ {}\\ L_1 \leftrightarrow L_3 \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7 \\2&4&5 \\ 3&3&1 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 -3 L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7 \\ 0&6&-9 \\ 0 & 6 & -20 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3-L_2 \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7 \\0&6&-9 \\ 0&0&-11 \end{array} \right) \end{array}\)

La matrice échelonnée possède trois lignes non-nulles, le rang de la matrice initiale est donc égal à 3.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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Théorie