Module : Calcul matriciel
Exercice
Calculez le rang des matrices suivantes
(a) \( \left( \begin{array}{ccc} 2&-1&3\\ -4&2&-6\\ -2&1&-3 \end{array} \right)\)
Réponse
1
Aide
Commencer par échelonner la matrice. Le rang est le nombre de lignes non nulles dans la matrice échelonnée.
Solution
Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.
\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 + 2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 + L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array}\)
La matrice échelonnée possède une seule ligne non-nulle, le rang de la matrice initiale est donc égal à 1.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \( \left( \begin{array}{ccc} 3&3&1\\ 2&4&5\\ 1&-1&7 \end{array} \right)\)
Réponse
3
Aide
Commencer par échelonner la matrice. Le rang est le nombre de lignes non nulles dans la matrice échelonnée.
Solution
Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.
\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 3&3&1\\ 2&4&5 \\1&-1&7 \end{array} \right)\\ {}\\ L_1 \leftrightarrow L_3 \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7 \\2&4&5 \\ 3&3&1 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 -3 L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7 \\ 0&6&-9 \\ 0 & 6 & -20 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3-L_2 \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7 \\0&6&-9 \\ 0&0&-11 \end{array} \right) \end{array}\)
La matrice échelonnée possède trois lignes non-nulles, le rang de la matrice initiale est donc égal à 3.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.