Module : Repères et vecteurs
Exercice
Déterminez les coordonnées polaires des points suivants
(a) \((0,-2)\)
Réponse
\(r=2 , \theta=\frac{3\pi}{2} \)
Aide
On a \(r =\sqrt{x^2 + y^2 } \).
Pour \(\theta\), on note que si \(x = 0\) alors \(\theta = \frac{\pi}{2} \) ou \(\frac{3\pi}{2} \), selon que \( y > 0\) ou \(y < 0 \).
Si \(x \neq 0 \), on a \( tg\, \theta=\frac{y}{x} \), ce qui nous permet de trouver \(\theta\), en y ajoutant au besoin \(\pi\) selon les signes de \(x\) et \(y\).
Solution
On a \(r =\sqrt{0^2 + (-2)^2 }=\sqrt{4}=2 \).
Puisque \(x = 0 \), on a \(\theta =\frac{\pi}{2}\) ou \(\frac{3\pi}{2}\) et comme \(y < 0 \), on en déduit que \(\theta =\frac{3\pi}{2} \).
Les coordonnées polaires sont donc \(r=2 \), \(\theta=\frac{3\pi}{2}\) .
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \((- \frac{3}{2},- \frac{3 \sqrt{3}}{2})\)
Réponse
\(r=3 , \theta=\frac{4\pi}{3} \)
Aide
On a \(r =\sqrt{x^2 + y^2 } \).
Pour \(\theta\), on note que si \(x = 0\) alors \(\theta = \frac{\pi}{2} \) ou \(\frac{3\pi}{2} \), selon que \( y > 0\) ou \(y < 0 \).
Si \(x \neq 0 \), on a \( tg\, \theta=\frac{y}{x} \), ce qui nous permet de trouver \(\theta\), en y ajoutant au besoin \(\pi\) selon les signes de \(x\) et \(y\).
Solution
On a \(r =\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 }=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{9}=3 \).
Puisque \(x\neq 0 \), on a \(tg\, \theta=\frac{-3\sqrt{3}}{-3}=\sqrt{3}\) et donc \(\theta=\frac{\pi}{3}\) ou \(\frac{4\pi}{3}\) . Comme \(y < 0 \), on en déduit que \(\theta =\frac{4\pi}{3}\) .
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \((2,-2 \sqrt{3})\)
Réponse
\(r=4 , \theta=\frac{5\pi}{3} \)
Aide
On a \(r =\sqrt{x^2 + y^2 } \).
Pour \(\theta\), on note que si \(x = 0\) alors \(\theta = \frac{\pi}{2} \) ou \(\frac{3\pi}{2} \), selon que \( y > 0\) ou \(y < 0 \).
Si \(x \neq 0 \), on a \( tg\, \theta=\frac{y}{x} \), ce qui nous permet de trouver \(\theta\), en y ajoutant au besoin \(\pi\) selon les signes de \(x\) et \(y\).
Solution
On a \(r =\sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2 }=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4 \).
Puisque \(x\neq 0 \), on a \(tg\, \theta=\frac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}\) et donc \(\theta=\frac{2\pi}{3}\) ou \(\frac{5\pi}{3} \). Comme \(y < 0 \), on en déduit que \(\theta =\frac{5\pi}{3} \).
Les coordonnées polaires sont donc \(r=4 \), \(\theta=\frac{5\pi}{3} \).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.