Module : Polynômes

Exercice

Factorisez les expressions suivantes

(a) \(2a(x-y)-3b(x-y)\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(2a(x-y)-3b(x-y) \).

Réponse

\(2a(x-y)-3b(x-y)=(x-y)(2a-3b)\)

Aide

Mettez \((x-y) \) en évidence.

Solution

On a

\(2a(x-y)-3b(x-y)=(x-y)(2a-3b).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(6x-3x^2-3\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(6x-3x^2-3 \).

Réponse

\(6x-3x^2-3=-3(x-1)^2\)

Aide

Mettez \(-3\) en évidence puis effectuez le produit remarquable.

Solution

On a

\(6x-3x^2-3=-3(x^2-2x+1)=-3(x-1)^2.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \((a+1)^2+2(a+1)\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \((a+1)^2+2(a+1) \).

Réponse

\((a+1)^2+2(a+1)=(a+1)(a+3)\)

Aide

Mettez \((a+1)\) en évidence.

Solution

On a

\((a+1)^2+2(a+1)=(a+1)(a+1+2)=(a+1)(a+3).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(1+a-x-ax\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(1+a-x-ax \).

Réponse

\(1+a-x-ax=(1+a)(1-x)\)

Aide

Groupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

Mettez ensuite \((1+a)\) en évidence.

Solution

On a

\(\begin{array}{rcl} 1+a-x-ax&=&(1+a)-(x+ax)\\ &=&(1+a)-x(1+a)\\ &=&(1+a)(1-x) \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(e) \(6a-7a^2+a^3\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(6a-7a^2+a^3\) .

Réponse

\(6a-7a^2+a^3=a(a-6)(a-1)\)

Aide

Mettez a en évidence puis cherchez les racines du polynôme du second degré.

Solution

On a \( 6a-7a^2+a^3=a(a^2-7a+6) \). Cherchons les racines de \(a^2-7a+6 \). On calcule \(b^2-4ac=25\) et donc \( x_1= \dfrac{7+5}{2}=6\) et \(x_2= \dfrac{7-5}{2}=1 \). Donc \(a^2-7a+6=(a-6)(a-1) \). Finalement,

\(6a-7a^2+a^3=a(a^2-7a+6)=a(a-6)(a-1).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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