Théorie du module : Ensembles

Exemples détaillés

1. Soit \(A = \{ x : 2x = 6 \}\) et soit \(b = 3\). Est-ce que \(A = b\) ?
   Solution détaillée : Non car \(A = \{ 3 \}\) est un ensemble, tandis que \(b = 3\) est un nombre réel.

    

2. Démontrer que l'ensemble \(A = \{ 2 , 3 , 4 , 5 \}\) n'est pas un sous-ensemble de l'ensemble \(B = \{ x : x \hbox{ est un nombre impair} \}\)
   Solution détaillée : Ecrivons \(A\) et \(B\) en extension. On obtient \(A = \{ 2 , 3 , 4 , 5 \}\) et \(B = \{ 1, 3, 5, 7, 9,\ldots \}\). Donc \(A\not\subset B\) car il existe \(x\) tel que \(x\in A\) et   \(x\not\in B\). Par exemple \(2\in A\) et \(2\not\in B\).

    

3. Démontrer que \((A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)\).
   Solution détaillée : On peut écrire

    

   \(\begin{array}{rcl} (A\cup B)\setminus C&=&\{x\, :\, (x\in A\mbox{ ou }x\in B)\mbox{ et }x\not\in C\},\\ &=&\{x\, :\, (x\in A\mbox{ et }x\not\in C)\mbox{ ou }(x\in B\mbox{ et }x\not\in C)\},\\ &=&\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\not\in C\}\cup\{x\, :\, x\in B\mbox{ et }x\not\in C\},\\ &=&(A\setminus C)\cup (B\setminus C). \end{array}\)

    

4. Soient les ensembles \(A = \{ 1 , 2 , 3 \}\) et \(B =\{ 0 , 5 \}\). Ecrire en extension \(A \times B\).
   Solution détaillée : L'ensemble \(A \times B\) est formé de tous les couples dont le premier élément est dans \(A\) et le deuxième élément est dans \(B\). On a donc

    

   \(A \times B=\{ (1,0),\, (1,5),\, (2,0),\, (2,5),\, (3,0),\, (3,5)\}.\)

    

5. Ecrire la fraction \(\frac{5}{4}\) sous forme décimale.
   Solution détaillée : On a \(\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}=1+\frac{25}{100}=1,25\).

    

6. Ecrire la fraction \(-\frac{2}{9}\) sous forme décimale.
   Solution détaillée : En faisant la division euclidienne, on obtient \(-\frac{2}{9}=-0,22222\ldots\)

    

7. Ecrire le nombre \(3,21\) sous forme de fraction.
   Solution détaillée: On peut écrire \(3,21=\frac{321}{100}\) et cette fraction est irréductible.

    

8. Ecrire le nombre \(2,21134134134\ldots\) sous forme de fraction.
   Solution détaillée : Soit \(x=2,21134134134\ldots\)
   On a \(100x=221,134134134\ldots\) et \(100000x=221134,134134\ldots\) En soustrayant ces deux quantités, on obtient \((100000-100)x=220913\), c'est-à-dire \(99900x=220913\) et donc \(x=\frac{220913}{99900}\).

    

9. Encadrer \(\pi\) au millième près.
   Solution détaillée: On a \(\pi=3,1415\ldots\) Le millième correspond au troisième chiffre après la virgule.
   On prend donc \(a=3,141\) et \(b=3,142\) et on obtient bien \(a<\pi<b\) avec \(b-a=0,001=10^{-3}\).

    

10. Donner une valeur approchée par défaut de \(\frac{22}{7}\) au centième près.
    Solution détaillée: Par division euclidienne, on a \(\frac{22}{7}=3,1428\ldots\) Le centième correspond au deuxième chiffre après la virgule.
    On prend donc \(a=3,14\) et \(b=3,15\) et on obtient bien \(a<\frac{22}{7}<b\) avec \(b-a=0,01=10^{-2}\).
    Une valeur approchée par défaut de \(\frac{22}{7}\) est donc \(a=3,14\).

     

11. A l'université sont organisés des cours libres d'anglais, d'économie et de statistique. Sachant que 122 étudiants suivent le cours d'anglais, 81 celui d'économie, 14 celui de statistique, 10 ceux d'anglais et d'économie, 6 ceux d'anglais et de statistique, 11 ceux de statistique et d'économie et enfin, 4 étudiants suivent les 3 cours, combien d'étudiants suivent le seul cours de statistique ?
    Solution détaillée: Soit \(A\) l'ensemble des étudiants du cours d'anglais, \(E\) celui des étudiants du cours d'économie et \(S\) celui des étudiants de statistique. A partir de l'énoncé, on peut construire le diagramme suivant :
    
    On en déduit que \(14-2-4-7=1\) seul étudiant suit seulement le cours de statistique.