Module : Systèmes

Exercice

Résolvez les problèmes suivants

(a) Si on augmente la longueur d'un rectangle de 2 cm et sa largeur de 4 cm, son aire augmente de 46 cm2. Si on augmente sa longueur de 1 cm et sa largeur de 5 cm, son aire augmente de 45 cm2. Déterminez les dimensions du rectangle.

Réponse

Longueur 7 cm et largeur 5 cm.

Aide

Si \(x\) représente la longueur et \(y\) représente la largeur du rectangle alors son aire vaut \(xy\).

Solution

Soit \(x\) la longueur et \(y\) la largeur du rectangle (en centimètres). Les hypothèses se réécrivent en équations comme

\(\begin{align*} & \left\{ \begin{array}{c} (x+2)(y+4)=xy+46 \\ (x+1)(y+5)=xy+45 \end{array} \right. \\[3mm] \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{c} 4x+2y=38 \\ 5x+y=40 \end{array} \right. \end{align*}\)

En multipliant la deuxième équation par 2, le système devient

\(\left\{ \begin{array}{c} 4x+2y=38 \\ 10x+2y=80 \end{array} \right.\)

On soustrait alors la première équation de la deuxième pour obtenir

\(\left\{ \begin{array}{c} 4x+2y=38 \\ 6x=42 \end{array} \right.\)

De la deuxième équation, on déduit \(x = 7\), et en remplaçant \(x\) par \(7\) dans la première équation on trouve \(28+2y=38\), d'où \(y = 5\). Les côtés du rectangle mesurent donc \(5\) cm et \(7\) cm.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) Le dénominateur d'une fraction est de 5 unités plus grande que son numérateur et si on ajoute 8 aux deux termes la fraction vaut 3/4. Trouvez cette fraction.

Réponse

\(\displaystyle{ \frac{7}{12}}\)

Aide

Si \(x\) représente le numérateur et \(y\) le dénominateur alors la fraction cherchée est \(\dfrac{x}{y}\).

Solution

Notons \(x\) le numérateur et \(y\) le dénominateur de la fraction recherchée. Les données du problème se réécrivent

\(\begin{align*} & \left\{ \begin{array}{c} y = x+5 \\ \dfrac{x+8}{y+8} = \dfrac{3}{4} \end{array} \right. \\[3mm] \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{c} y = x+5 \\ 4x+32 = 3y+24 \end{array} \right. \end{align*}\)

En remplaçant \(y\) par \(x+5\) dans la deuxième équation, on obtient

\(\left\{ \begin{array}{c} y = x+5 \\ 4x+32 = 3x+15+24 \end{array} \right.\)

De la deuxième équation on déduit \(x = 7\), et de la première \(y = 12\). La fraction recherchée est donc \(\dfrac{7}{12}\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) Dans trois ans, l'âge du père sera le triple de l'âge du fils. Dans 8 ans, l'âge du fils sera le 2/5 de l'âge du père. Calculez l'âge du père et celui du fils.

Réponse

Le père a 42 ans et le fils a 12 ans.

Aide

Si \(x\) représente l'âge actuel du père et \(y\) représente l'âge actuel du fils alors dans trois ans, le père aura \((x+3)\) ans et le fils aura \((y+3)\) ans.

Solution

Notons \(x\) l'âge actuel du père et \(y\) l'âge actuel du fils. Les données du problème s'écrivent

\(\left\{ \begin{array}{c} x+3 = 3(y+3)\\ y+8 = \frac{2}{5}(x+8) \end{array} \right. \)

En multipliant la première équation par 2 et la deuxième équation par 5, ce système devient

\(\left\{ \begin{array}{c} 2x-6y = 12\\ -2x+5y = -24 \end{array} \right. \)

En ajoutant la première équation à la deuxième, on obtient

\(\left\{ \begin{array}{c} 2x-6y = 12\\ -y = -12 \end{array} \right. \)

On en déduit \(y = 12\) et en remplaçant \(y\) par \(12\) dans la première équation on trouve \(2x-72 = 12\), d'où \(x = 42\). Le père a donc \(42\) ans et le fils \(12\) ans.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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