Module : Systèmes
Exercice
Résolvez les systèmes suivants
(a) \(\left\{\begin{array}{rl} x+y-2=0 \\ 2x+2y+5 =0 \end{array}\right.\)
Réponse
\(S=\emptyset \)
Aide
Multipliez la première équation par 2.
Solution
En multipliant la première équation par 2, le système devient
\(\left\{ \begin{array}{c} 2x+2y = 4 \\ 2x+2y = -5 \end{array} \right.\)
Ce système ne possède pas de solution puisque \(2x+2y\) ne peut valoir \(4\) et \(-5\) à la fois. Donc \(S = \emptyset\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\displaystyle { \left\{\begin{array}{rl} 6x-3y-3=0 \\ x=2y-4 \end{array}\right. }\)
Réponse
\(S = \left\{(2,3)\right\}\)
Aide
Remplacez \(x\) dans la première équation et déduisez-en la valeur de \(y\).
Solution
En multipliant la deuxième équation par 6, le système devient
\(\left\{ \begin{array}{c} 6x-3y = 3 \\ 6x-12y = -24 \end{array} \right. \)
On soustrait alors la première équation de la deuxième pour obtenir
\(\left\{ \begin{array}{c} 6x-3y = 3 \\ -9y = -27 \end{array} \right. \)
De la deuxième équation, on déduit \(y = 3\), et en remplaçant \(y\) par \(3\) dans la première équation on trouve \(6x-9=3\), d'où \(x = 2\). On a donc \(S = \left\{(2,3)\right\}\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \(\left\{\begin{array}{rl} x+y-2=0 \\ 2x+2y-4 =0 \end{array}\right.\)
Réponse
\(S = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y = 2\right\}\)
Aide
Multipliez la première équation par 2.
Solution
En divisant la deuxième équation par 2, le système devient
\(\left\{ \begin{array}{c} x+y = 2 \\ x+y = 2 \end{array} \right.\)
Les deux équations étant les mêmes, la solution du système est simplement \(S = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y = 2\right\}\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(d) \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{rl} 2x+y-6=y+2(x-3) \\ x+3y+3 =3(y+1)+x \end{array}\right.}\)
Réponse
\(S = \mathbb{R}^2\)
Aide
Additionnez les \(x\) entre eux et les \(y\) entre eux dans chaque équation.
Solution
En développant les différents termes, on se rend compte que le système est équivalent à
\(\left\{ \begin{array}{c} 2x+y-6 = y+2x-6 \\ x+3y+3 = 3y+3+x \end{array} \right. \)
On remarque que ce système est toujours vrai, quels que soient \(x\) et \(y\). On a donc \(S = \mathbb{R}^2\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(e) \(\left\{\begin{array}{rl} x-y=0 \\ (2y-3+x)(x+y) =0 \end{array}\right.\)
Réponse
\(S = \left\{(0,0),(1,1)\right\}\)
Aide
Décomposez ce système en deux systèmes distincts.
En effet, \((2y-3+x)(x+y) =0\) si \(2y-3+x=0\) ou \(x+y =0\).
Solution
Pour résoudre le système, il suffit de résoudre les 2 systèmes plus simples suivants.
- Le système
\(\left\{ \begin{array}{c} x-y=0 \\ 2y-3+x=0 \end{array} \right. \)
donne \((1,1)\) comme solution en remplaçant \(x\) par \(y\) dans la deuxième équation.
- Le système
\(\left\{ \begin{array}{c} x-y=0 \\ x+y=0 \end{array} \right. \)
donne \((0,0)\) comme solution en ajoutant par exemple la première équation à la deuxième.
Au total, on a \(S = \left\{(0,0),(1,1)\right\}\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.