Module : Logique

Exercice

Les propositions suivantes sont-elles des tautologies ?

(a) \((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P \Rightarrow \neg Q)\)

Réponse

Ce n'est pas une tautologie.

Aide

Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . Ce n'est pas le cas ici.

Solution

La proposition n'est pas une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne n'est pas composée uniquement de V . Cette affirmation est donc vraie ou fausse selon les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\Rightarrow Q& \neg P&\neg Q&\neg P\Rightarrow\neg Q&(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\neg P\Rightarrow\neg Q) \\ \hline V&V&V&F&F&V&V\\ V&F&F&F&V&V&F\\ F&V&V&V&F&F&F\\ F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici et ici.


(b) \(((P\Rightarrow Q)\wedge (Q \Rightarrow P)) \Leftrightarrow(P\Leftrightarrow Q)\)

Réponse

C'est une tautologie.

Aide

Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . C'est le cas ici.

Solution

La proposition est une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne est composée uniquement de V . Cette affirmation est donc toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\Rightarrow Q&Q\Rightarrow P&P\Leftrightarrow Q&(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)&((P\Rightarrow Q)\wedge (Q\Rightarrow P))\\ &&&&&&\Leftrightarrow (P\Leftrightarrow Q)\\ \hline V&V&V&V&V&V&V\\ V&F&F&V&F&F&V\\ F&V&V&F&F&F&V\\ F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici et ici.


(c) \(\neg(P \vee Q)\Leftrightarrow(\neg P \vee \neg Q)\)

Réponse

Ce n'est pas une tautologie.

Aide

Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . Ce n'est pas le cas ici.

Solution

La proposition n'est pas une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne n'est pas composée uniquement de V . Cette affirmation est donc vraie ou fausse selon les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\vee Q&\neg (P\vee Q)&\neg P&\neg Q&\neg P\vee\neg Q&\neg (P\vee Q)\Leftrightarrow (\neg P\vee\neg Q)\\ \hline V&V&V&F&F&F&F&V\\ V&F&V&F&F&V&V&F\\ F&V&V&F&V&F&V&F\\ F&F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici et ici.


(d) \(\neg(P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)\)

Réponse

C'est une tautologie.

Aide

Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . C'est le cas ici.

Solution

La proposition est une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne est composée uniquement de V . Cette affirmation est donc toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\wedge Q&\neg (P\wedge Q)&\neg P&\neg Q&\neg P\vee\neg Q&\neg (P\wedge Q)\Leftrightarrow (\neg P\vee\neg Q)\\ \hline V&V&V&F&F&F&F&V\\ V&F&F&V&F&V&V&V\\ F&V&F&V&V&F&V&V\\ F&F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici et ici.


Retour à la liste

Théorie