Module : Logarithmes et exponentielles

Exercice

Calculez les limites suivantes

(a) \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \ln\left( \frac{1}{x} \right)\)

Réponse

\(-\infty\)

Aide

On sait que \(\ln(\frac{1}{x})= -\ln(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x)=+\infty\).

Solution

On a \(\ln{(\frac{1}{x})}=\ln{(x^{-1})}=-\ln{(x)}\) et donc

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln{}\left(\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}-\ln{(x)}=-\infty\)

puisque \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln{(x)}=+\infty\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} 1 - e^{-x}\)

Réponse

\(1\)

Aide

On sait que \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty\).

Solution

On sait que \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty\).  Donc \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{-x}=\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{e^{x}} =0\).  Dès lors, par somme des limites, on a

\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} 1-e^{-x}=1.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(\displaystyle\lim_{\stackrel{x \rightarrow 0}{x > 0}} e^{-x} \ln(x)\)

Réponse

\(-\infty\)

Aide

On sait que \(\displaystyle\lim_{\stackrel{x \rightarrow 0}{x > 0}} e^{-x} = 1\) et \(\displaystyle\lim_{\stackrel{x \rightarrow 0}{x > 0}} \ln(x) = -\infty\).

Solution

On a d'une part \(\lim_{\stackrel{x \rightarrow 0}{x > 0}} e^{-x} = 1\) puisque \(e^{-x}\) est continue en \(0\), d'autre part \(\displaystyle\lim_{\stackrel{x \rightarrow 0}{x > 0}} \ln(x) = -\infty\) et donc la limite du produit est \(-\infty\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin(x)}\)

Réponse

\(2\)

Aide

Utilisez la règle de l'Hospital.

Solution

Puisque \(\displaystyle\lim_{x\to 0} e^x=\displaystyle\lim_{x\to 0} e^{-x}=1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin{x}=0\), nous sommes dans le cas d'une indétermination dite \("\frac{0}{0}"\) et nous pouvons utiliser la règle de l'Hospital.  Nous trouvons dès lors les égalités suivantes :

\(\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin{x}}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x+e^{-x}}{\cos{x}}=\dfrac{e^0+e^0}{\cos{0}}=2.\)

Nous avons utilisé le fait que la dérivée de \(e^x\) est \(e^x\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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Théorie