Module : Logarithmes et exponentielles

Exercice

Déterminez le domaine des fonctions suivantes

(a) \(f(x)=xe^{1/x}\)

Réponse

\(\mathbb{R}_0\)

Aide

Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul.

Solution

La fonction \(\dfrac{1}{x}\) est définie pour \(x\neq 0\).  La fonction exponentielle est, quant à elle, définie sur \(\mathbb{R}\).  La fonction \(f\) est donc définie sur \(\mathbb{R}_0\).

Remarque : on peut être tenté de dire que la fonction est quand même définie en \(0\), car le facteur \(x\) nous fait penser que l'expression vaut \(0\) en \(0\).  Mais chaque expression doit avoir un sens séparément pour être bien définie !

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \((x)=\ln{(x ^2)}\)

Réponse

\(\mathbb{R}_0\)

Aide

L'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

Solution

La fonction logarithme est définie sur \(\mathbb{R}^+_0\).  L'image de la fonction \(x^2\) est \(\mathbb{R}^+\) (tout carré est positif) et nul seulement pour \(x=0 \).  La fonction \(f\) est donc définie sur \(\mathbb{R}_0\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(f(x)=\log_2{(x^2-2x+1)}\)

Réponse

\(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

Aide

L'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

Solution

La fonction logarithme est définie sur \(\mathbb{R}^+_0\).  Il faut donc que \(x^2-2x+1>0\).  Or c'est un produit remarquable et on a \(x^2-2x+1=(x-1)^2\).  Il faut donc que \((x-1)^2>0\), ce qui est vrai dès que \(x\neq 1\).  La bonne réponse est donc \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(f(x)=\log_{1/2}{(-x^2-2x+3)}\)

Réponse

\(]-3,1[\)

Aide

L'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

Solution

La fonction logarithme est définie sur \(\mathbb{R}^+_0\).  Il faut donc que \(-x^2-2x+3>0\).  On trouve deux racines \(-3\) et \(1\).  En faisant un tableau de signes, puisque le coefficient de \(x^2\) est (strictement) négatif, on voit que \(-x^2-2x+3>0\) sur \(]-3,1[\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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