Module : Polynômes

Exercice

Factorisez les expressions suivantes

(a) \(8x+12y\)

Vérification

Distribuez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(8x + 12y \).

Réponse

\(8x + 12y=4(2x+3y)\)

Aide

Mettez \(4\) en évidence.

Solution

On a

\(8x + 12y=4\cdot 2x+4\cdot 3y=4(2x+3y).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(x^5-8x^3+16x\)

Vérification

Developpez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(x^5 - 8x^3 + 16x \).

Réponse

\(x^5 - 8x^3 + 16x=x(x^2-4)^2\)

Aide

Mettez \(x\) en évidence, puis effectuez le produit remarquable.

Solution

On a

\(\begin{array}{rcl} x^5 - 8x^3 + 16x&=&x(x^4-8x^2+16)\\ &=&x((x^2)^2-2\cdot x^2\cdot 4+4^2)\\ &=&x(x^2-4)^2 \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(x-x^4\)

Vérification

Distribuez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(x - x^4 \).

Réponse

\(x - x^4=x(1-x)(1+x+x^2) \)

Aide

Mettez \(x\) en évidence, puis effectuez le produit remarquable.

Solution

On a

\(x - x^4=x(1-x^3)=x(1-x)(1+x+x^2).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(3(2-x)^2-3(x-2)^3\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(3(2 - x)^2 - 3(x - 2)^3 \).

Réponse

\(3(2 - x)^2 - 3(x - 2)^3=3(2-x)^2(3-x)\)

Aide

Transformez \(-3(x-2)^3\) en \(3(2-x)^3 \).

Mettez ensuite \(3(2-x)^2\) en évidence.

Solution

On a

\(\begin{array}{rcl} 3(2 - x)^2 - 3(x - 2)^3&=&3(2-x)^2+3(2-x)^3\\ &=&3(2-x)^2(1+2-x)\\ &=&3(2-x)^2(3-x) \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(e) \((x-y)^3-y^3\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \((x-y)^3-y^3 \).

Réponse

\((x-y)^3-y^3=(x-2y)(x^2+y^2-xy)\)

Aide

Utilisez le produit remarquable différence de deux cubes.

Solution

On a


\(\begin{array}{rcl} (x-y)^3-y^3&=&((x-y)-y)((x-y)^2+(x-y)y+y^2)\\ &=&(x-2y)(x^2+y^2-2xy+xy-y^2+y^2)\\ &=&(x-2y)(x^2+y^2-xy) \end{array}\)

 

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(f) \(a^2-4b^2\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(a^2-4b^2 \).

Réponse

\(a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)\)

Aide

Utilisez le produit remarquable différence de deux carrés.

Solution

On a


\(a^2-4b^2=a^2-(2b)^2=(a-2b)(a+2b).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(g) \(8-12a+6a^2-a^3\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(8-12a+6a^2-a^3 \).

Réponse

\(8-12a+6a^2-a^3=-(a-2)^3\)

Aide

Mettez le signe "moins" en évidence.

Vous obtenez alors un produit remarquable.

Solution

On a

\(\begin{array}{rcl} 8-12a+6a^2-a^3&=&-(a^3-6a^2+12a-8)\\ &=&-(a^3-3\cdot a^2\cdot 2+3\cdot a\cdot 2^2-2^3)\\ &=&-(a-2)^3 \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(h) \(a^7-3a^5+3a^3-a\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(a^7-3a^5+3a^3-a \).

Réponse

\(a^7-3a^5+3a^3-a=a(a^2-1)^3\)

Aide

Groupez les premier et dernier termes ainsi que les deuxième et troisième termes.

Effectuez ensuite les produits remarquables (différence de deux cubes et différence de deux carrés).

Mettez finalement en évidence \(a(a^2-1) \).

Solution

On a

\(\begin{array}{rcl} a^7-3a^5+3a^3-a&=&(a^7-a)-(3a^5-3a^3)\\ &=&a(a^6-1)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a((a^2)^3-1^3)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a(a^2-1)((a^2)^2+a^2\cdot 1+1^2)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a(a^2-1)(a^4+a^2+1)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a(a^2-1)(a^4+a^2+1-3a^2)\\ &=&a(a^2-1)(a^4-2a^2+1)\\ &=&a(a^2-1)((a^2)^2-2\cdot (a^2)\cdot 1+1^2)\\ &=&a(a^2-1)(a^2-1)^2\\ &=&a(a^2-1)^3 \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(i) \(4(a+b)^2-9b^2\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(4(a+b)^2-9b^2 \).

Réponse

\(4(a+b)^2-9b^2=(2a-b)(2a+5b)\)

Aide

Effectuez le produit remarquable différence de deux carrés.

Solution

On a


\(\begin{array}{rcl} 4(a+b)^2-9b^2&=&(2(a+b))^2-(3b)^2\\ &=&(2(a+b)-3b)(2(a+b)+3b)\\ &=&(2a+2b-3b)(2a+2b+3b)\\ &=&(2a-b)(2a+5b) \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(j) \(2x^2+x-6\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(2x^2+x-6 \).

Réponse

\(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\)

Aide

Calculez \( b^2-4ac \) pour trouver les racines de \(4x^2-8x-5 \).

Solution

On a \(b^2-4ac=49 \). Les deux racines sont \(x_1= \dfrac{-1+7}{4}= \dfrac{3}{2}\) et \(x_2= \dfrac{-1-7}{4}=-2 \).

On obtient

\(2x^2+x-6=2(x- \frac{3}{2})(x+2)=(2x-3)(x+2).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(k) \(1-6x+9x^2\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(1-6x+9x^2 \).

Réponse

\(1-6x+9x^2=(1-3x)^2\)

Aide

Effectuez le produit remarquable.

Solution

On a

\(1-6x+9x^2=1^2-2\cdot 1\cdot 3x+(3x)^2=(1-3x)^2.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(l) \(4x^2-8x-5\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(4x^2-8x-5 \).

Réponse

\(4x^2-8x-5=(2x-5)(2x+1)\)

Aide

Calculez \(b^2-4ac\) pour trouver les racines de \(4x^2-8x-5 \).

Solution

On a \(b^2-4ac=144 \). Les deux racines sont \(x_1= \dfrac{8+12}{8}= \dfrac{5}{2}\) et \(x_2= \dfrac{8-12}{8}=- \dfrac{1}{2} \). On obtient

\(4x^2-8x-5=4(x- \frac{5}{2})(x+ \frac{1}{2})=(2x-5)(2x+1).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(m) \((a-b)^2+2x(a-b)+x^2\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \((a-b)^2+2x(a-b)+x^2 \).

Réponse

\((a-b)^2+2x(a-b)+x^2=(x+a-b)^2\)

Aide

Effectuez le produit remarquable.

Solution

On a

\((a-b)^2+2x(a-b)+x^2=(x+(a-b))^2=(x+a-b)^2.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(n) \(a^2-8ab+16b^2\)

Vérification

Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(a^2-8ab+16b^2 \).

Réponse

\(a^2-8ab+16b^2=(a-4b)^2\)

Aide

Effectuez le produit remarquable.

Solution

On a

\(a^2-8ab+16b^2=a^2-2\cdot a\cdot 4b+(4b)^2=(a-4b)^2.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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