Théorie du module : Égalités
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Soit \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) des nombres réels. Une égalité vérifie les propriétés suivantes :
- \(a=a\).
Si \(a=b\), alors \(b=a\).
Si \(a=b\) et \(b=c\), alors \(a=c\). - Lorsqu'on ajoute un même nombre aux deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité : si \(a=b\), alors \(a+c = b+c\).
Lorsqu'on retranche un même nombre des deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité : si \(a=b\), alors \(a-c=b-c\). - Lorsqu'on multiplie par un même nombre les deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité : si \(a=b\), alors \(a\cdot c=b\cdot c\).
Lorsqu'on divise par un même nombre les deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité : si \(a=b\), alors \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}\) où \(c\neq 0\). - Lorsqu'on additionne membre à membre deux égalités, on obtient un nouvelle égalité : si \(a=b\) et \(c=d\), alors \(a+c=b+d\).
Equations
Par exemple, \(2x-10=-3x\) est une équation où \(x\) est l'inconnue. Le nombre \(x=2\) est solution de l'équation car si on remplace \(x\) par \(2\) on obtient l'égalité \(-6=-6\).
On déduit des propriétés des égalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudre des équations, c'est-à-dire en trouver les solutions.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont des expressions contenant ou non des inconnues et \(m\) est un nombre réel, alors
- Lorsqu'on rajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à la première :
- les équations \(A=B\) et \(A+C=B+C\) sont équivalentes;
- les équations \(A=B\) et \(A-C=B-C\) sont équivalentes.
Par exemple, les équations \(2x-7=3\) et \(2x=10\) sont équivalentes et les équations \(3x+6=10\)et \(3x=4\) sont équivalentes.
- Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une équation par une même quantité différente de \(0\), on obtient une équation équivalente à la première :
- les équations \(A=B\) et \(A\cdot m=B\cdot m\) avec \(m \neq 0\) sont équivalentes;
- les équations \(A=B\) et \(\frac{A}{m}=\frac{B}{m}\) avec \(m \neq 0\) sont équivalentes.
Par exemple, les équations \(\frac{1}{2}x+6=\frac{3}{2} +2x\) et \(x+12=3+4x\) sont équivalentes et les équations \(2x=10\) et \(x=5\) sont équivalentes.
- Les solutions de l'équation \(A\cdot B =0\) sont les solutions de l'équation \(A=0\) ainsi que de celles de l'équation \(B=0\) : l'équation \(A\cdot B=0\) se dissocie donc en \((A=0\) ou \(B=0)\).
Par exemple, pour que \((x-3)(x+2)=0\), il suffit que \(x-3=0\) ou que \(x+2=0\).
- Les solutions de l'équation \(\displaystyle \frac{A}{B} =0\) sont les solutions de l'équation \(A=0\) et qui ne sont pas solution de l'équation \(B=0\) : l'équation \(\displaystyle \frac{A}{B} =0\) se dissocie donc en \((A=0\) et \(B\neq 0)\).
Par exemple, pour que \(\frac{(x-4)(x^2-1)}{x-1}=0\) il suffit que \((x-4)(x^2-1)=0\) mais avec \(x-1\neq 0\).
Remarque : Pour obtenir une expression du type \(A\cdot B=0\), il est parfois nécessaire de factoriser les expressions apparaissant dans les deux membres de l'égalité.
Méthode de résolution -- Pour résoudre une équation :
- Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à \(0\).
- Utiliser les propriétés ci-dessus pour isoler l'inconnue.
La solution est un ensemble de nombres réels. Cet ensemble peut être vide.
(a) Equation du premier degré
L'équation \(ax+b=0\) \((a\neq 0)\) est une équation du premier degré. Cette équation a une seule solution \(x=-\frac{b}{a}\). L'ensemble des solutions de cette équation sera donc noté \(S=\{-\frac{b}{a}\}\). Le nombre \(x=-\frac{b}{a}\) est aussi appelé racine de l'expression \(ax+b\).
Par exemple, l'équation \(2x-4=0\) a une seule solution \(x=2\). On notera \(S=\{2\}\).
(b) Equation du second degré
L'équation \(ax^2+bx+c=0\) \((a\neq 0)\) est une équation du second degré. Cette équation a zéro, une ou deux solutions dans \(\mathbb{R}\). Ces solutions sont données par
- \(S=\left\{\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}\) si \(b^2-4ac>0\)
- \(S=\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}\) si \(b^2-4ac=0\)
- \(S=\emptyset\) si \( b^2-4ac<0\)
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Par exemple, l'équation \(3x^2-3x-18=0\) a deux solutions \(x_1=\frac{3+\sqrt{225}}{6}=3\) et \(x_2=\frac{3-\sqrt{225}}{6}=-2\). On notera \(S=\{-2,\, 3\}\).
L'équation \(4x^2-8x+4=0\) a une solution \(x=\frac{8+\sqrt{0}}{8}=1\). On notera \(S=\{1\}\).
L'équation \(x^2-2x+6=0\) n'a pas de solution car \(b^2-4ac=-20<0\). On notera \(S=\emptyset\).
Remarque : Toute équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(b^2-4ac>0\) admet deux solutions distinctes \(x_1\) et \(x_2\) telles que \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) et \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\).
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Par exemple, l'équation \(2x^2+8x+6=0\) a deux solutions \(x_1=\frac{-8+\sqrt{16}}{4}=-1\) et \(x_2=\frac{-8-\sqrt{16}}{4}=-3\). Ces solutions sont telles que \(x_1+x_2=-4=-\frac{8}{2}\) et \(x_1\cdot x_2=3=\frac{6}{2}\). Pour trouver les solutions de cette équation, on aurait donc pu se poser la question suivante : trouver deux nombres dont la somme vaut \(-\frac{b}{a}=-4\) et le produit vaut \(\frac{c}{a}=3\). Ces deux nombres sont \(-1\) et \(-3\).
Exemples détaillés
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Résoudre l'équation \(5x-3=0\).Solution détaillée :
\(5x-3+3=0+3 \)
\(5x=3\)
\({5x\over 5}={3\over 5}\)
\(x={3\over 5}\)
La solution est donc le nombre réel \(x=\frac{3}{5} \) et l'on notera \(S= \{ {3\over 5} \}\). -
Résoudre l'équation \(\displaystyle {{x(x-3)}\over x-2}=0\).Solution détaillée :
\(\displaystyle {{x(x-3)}\over x-2}=0\)
\(x(x-3)=0 \ \ \text{et }\ x-2\neq 0\)
\((x=0 \ \text{ou }\ x-3=0)\ \ \text{et }\ x\neq 2\)
\((x=0 \ \text{ou }\ x=3)\ \ \text{et }\ x\neq 2\)
Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=0\) et \(x=3\). On notera \(\displaystyle S= \{ 0,3 \}\). -
Résoudre l'équation \(x(x-2)=3(x^2-4)\).Solution détaillée :
\(x(x-2)=3(x^2-4)\)
\(x(x-2)=3(x-2)(x+2)\)
\(x(x-2)-3(x-2)(x+2)=0\)
\((x-2)(x-3x-6)=0\)
\((x-2)(-2x-6)=0\)
\(x-2=0 \ \text{ou }-2x-6=0\)
\(x=2 \ \text{ou }-2x-6+6=0+6\)
\(x=2 \ \text{ou }-2x=6\)
\(x=2 \ \text{ou }\frac{-2x}{-2}=\frac{6}{-2}\)
\(x=2 \ \text{ou }x=-3\)
Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=2\) et \(x=-3\). On notera \(\displaystyle S= \{ -3, 2 \}\).Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s'obtient en factorisant l'expression \(x^2-4\). Une autre manière de résoudre l'exercice consiste à distribuer à la première étape, puis résoudre l'équation du second degré obtenue.
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Résoudre l'équation \(x^2-5x+6=0\).Solution détaillée :
\(x^2-5x+6=0\)
\((x-2)(x-3)=0\)
\(x-2=0 \ \text{ou }x-3=0\)
\(x=2 \ \text{ou }x=3\)
Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=2\) et \(x=3\). On notera \(\displaystyle S= \{ 2,3 \}\).Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s'obtient en factorisant l'expression \(x^2-5x+6\).
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Résoudre l'équation \(\dfrac{x^2-4x+3}{x-1}=0\).Solution détaillée :
\(x^2-4x+3=0 \ \ \text{et }\ x-1\neq 0\)
\((x-1)(x-3)=0 \ \ \text{et }\ x\neq 1\)
\(((x-1=0) \ \text{ou }(x-3)=0) \ \ \text{et }\ x\neq 1\)
\((x=1 \ \text{ou }x=3) \ \ \text{et }\ x\neq 1\)
La solution \(x=1\) est donc à rejeter. Cette équation a une seule solution, le nombre réel \(x=3\). On notera \(\displaystyle S= \{3 \}\).Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne s'obtient en factorisant l'expression \(x^2-4x+3\).
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Résoudre l'équation \(\displaystyle \frac{x}{x-3}=2\).Solution détaillée :
\(\displaystyle \frac{x}{x-3}=2\)
\(\displaystyle \frac{x}{x-3}-2=0\)
\(\displaystyle \frac{x-2(x-3)}{x-3}=0\)
\(\displaystyle \frac{-x+6}{x-3}=0\)
\(6-x=0 \ \ \text{et }\ x-3\neq 0\)
\(x=6\ \ \text{et }\ x\neq 3\)
Cette équation a donc une solution, le nombre réel \(x=6\). On notera \(\displaystyle S= \{ 6 \}\).
Remarque : le passage de la deuxième à la troisième ligne s'obtient en réduisant au même dénominateur.
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Résoudre l'équation \(\mid 2x+3\mid=1\).Solution détaillée :
\(\mid 2x+3\mid=1\)
\(2x+3=1 \ \ \text{ou }\ 2x+3=-1\)
\(2x+3-3=1-3 \ \ \text{ou }\ 2x+3-3=-1-3\)
\(2x=-2 \ \ \text{ou }\ 2x=-4\)
\(\frac{2x}{2}=\frac{-2}{2} \ \ \text{ou }\ \frac{2x}{2}=\frac{-4}{2}\)
\(x=-1 \ \ \text{ou }\ x=-2\)
Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=-1\) et \(x=-2\). On notera \(\displaystyle S= \{ -2,-1 \}\).Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne découle des propriétés de la valeur absolue.
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Le triple d'un nombre, diminué de \(4\), est égal à son double augmenté de \(7\). Quel est ce nombre ?Solution détaillée :
- Choix de l'inconnue : \(x\) = le nombre cherché;
- Mise en équation : \(3x-4=2x+7\);
- Résolution de l'équation : \(3x-2x=7+4\) d'où \(x=11\);
- Solution du problème : le nombre est \(11\);
- Vérification de la solution : on a bien \(3\cdot 11-4=2\cdot 11+7\) c'est-à-dire \(29=29\).
Preuves
Cette équation peut successivement s'écrire
\(\begin{array}{c} ax^2+bx+c=0\\[2mm] x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\\ x^2+2\, \dfrac{b}{2a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0\\ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \end{array} \)
1er cas : \(b^2-4ac>0\). On obtient
\(x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)
d'où
\(x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)
L'équation a donc deux solutions :
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, \, \mbox{ et }\, \, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)
On notera \(S=\left\{\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}\).
2ème cas : \(b^2-4ac=0\). On obtient
\(x+\frac{b}{2a}=0\)
d'où
\(x=-\frac{b}{2a}.\)
L'équation a une seule solution : \(x=-\frac{b}{2a}\). On notera \(S=\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}\).
3ème cas : \(b^2-4ac<0\). On obtient
\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2<0\)
ce qui est impossible. L'équation n'a pas de solution. On notera \(S=\emptyset\).
Les solutions \(x_1\) et \(x_2\) de l'équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(b^2-4ac>0\) sont telles que
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\mbox{ et }x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\)
On a vu que
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, \, \mbox{ et }\, \, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)
On calcule alors
\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}\)
et
\(\begin{array}{rcl} x_1\cdot x_2 & = & \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2mm] & = &\dfrac{-(\sqrt{b^2-4ac}+b)(\sqrt{b^2-4ac}-b)}{4a^2} \\[2mm] & = &\dfrac{-(b^2-4ac-b^2)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}. \end{array} \)