Module : Fonctions

Exercice

Ecrivez chaque fonction \(h\) comme la composée \(g \circ f\)\(f\) et \(g\) sont deux fonctions simples, aucune n'étant la fonction identité.

(a) \(\displaystyle h(x) = \sqrt{x^2 - 4}\)

Réponse

\(f(x)=x^2-4\) et \(g(x)=\sqrt{x}\)

Aide

Partez de \(x\) et composez deux fonctions pour obtenir \(\sqrt{x^2-4}\).

Il y a plusieurs solutions possibles.

Solution

On peut choisir \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=\sqrt{x-4}\). On obtient bien

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=\sqrt{x^2-4}=h(x).\)

On peut aussi prendre \(f(x)=x^2-4\) et \(g(x)=\sqrt{x}\). On obtient bien

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2-4)=\sqrt{x^2-4}=h(x).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\displaystyle h(x) = \sqrt{1 + \sqrt x}\)

Réponse

\(f(x)=1+\sqrt{x}\) et \(g(x)=\sqrt{x}\)

Aide

Partez de \(x\) et composez deux fonctions pour obtenir \(\sqrt{1+\sqrt{x}}\).

Il y a plusieurs solutions possibles.

Solution

On peut choisir \(f(x)=1+\sqrt{x}\) et \(g(x)=\sqrt{x}\). On obtient bien

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(1+\sqrt{x})=\sqrt{1+\sqrt{x}}=h(x).\)

On peut aussi prendre \(f(x)=\sqrt{x}\) et \(g(x)=\sqrt{1+x}\). On obtient bien

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{1+\sqrt{x}}=h(x).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(\displaystyle h(x) = \root 3 \of {x^5}\)

Réponse

\(f(x)=x^5\) et \(g(x)=\sqrt[3]{x}\)

Aide

Partez de \(x\) et composez deux fonctions pour obtenir \(\sqrt[3]{x^5}\).

Il y a plusieurs solutions possibles.

Solution

On peut choisir \(f(x)=x^5\) et \(g(x)=\sqrt[3]{x}\). On obtient bien

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^5)=\sqrt[3]{x^5}=h(x).\)

On peut aussi prendre \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) et \(g(x)=x^5\). On obtient bien

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt[3]{x})=(\sqrt[3]{x})^5=h(x).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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