Module : Fonctions
Exercice
On considère les fonctions \(f(x)=\sqrt{x-2}\), \(g(x)=3x^2-2x\) et \(h(x)=\dfrac{6}{x}\).
(a) Déterminez le domaine de définition des fonctions \(f\), \(g\) et \(h\).
Réponse
Dom \(f=[2;+\infty[\), Dom \(g=\mathbb{R}\) et Dom \(h=\mathbb{R}_0\).
Aide
Une racine carrée a un sens si ce qui se trouve en-dessous de la racine est positif ou nul.
Dans une fraction, on ne peut pas diviser par 0.
Solution
Les conditions d'existence de la fonction \(f\) sont \(x-2\geq 0\), d'où \(x\geq 2\). Le domaine est donc l'intervalle \([2;+\infty[\).
La fonction \(g\) existe pour tout nombre réel \(x\). Son domaine est donc \(\mathbb{R}\).
La fonction \(h\) existe à condition que \(x\neq 0\). Le domaine est donc \(\mathbb{R}_0\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) Déterminez à quelles fonctions appartiennent les couples suivants : \((0,0)\), \((2,3)\) et \((1,-1)\).
Réponse
Le point \((0,0)\) appartient au graphe de \(g\), le point \((2,3)\) appartient au graphe de \(h\) et le point \((1,-1)\) n'appartient au graphe d'aucune de ces trois fonctions.
Aide
Un point appartient au graphe d'une fonction si ses coordonnées satisfont l'équation de la fonction.
Solution
Le point \((0,0)\) n'appartient pas au graphe de \(f\) car \(f(0)\) n'existe pas. Le point \((0,0)\) appartient au graphe de \(g\) car \(g(0)=3\cdot 0^2-2\cdot 0=0\). Le point \((0,0)\) n'appartient pas au graphe de \(h\) car \(h(0)\) n'existe pas.
Le point \((2,3)\) n'appartient pas au graphe de \(f\) car \(f(2)=\sqrt{2-2}=0\neq 3\). Le point \((2,3)\) n'appartient pas au graphe de \(g\) car \(g(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8\neq 3\). Le point \((2,3)\) appartient au graphe de \(h\) car \(h(2)=\frac{6}{2}=3\).
Le point \((1,-1)\) n'appartient pas au graphe de \(f\) car \(f(1)\) n'existe pas. Le point \((1,-1)\) n'appartient pas au graphe de \(g\) car \(g(1)=3\cdot 1^2-2\cdot 1=1\neq -1\). Le point \((1,-1)\) n'appartient pas au graphe de \(h\) car \(h(1)=\frac{6}{1}=6\neq -1\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) Déterminez l'ordonnée correspondant aux points d'abscisses \(x=3\), \(x=-2\) et \(x=1\) par les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\).
Réponse
Pour \(x=3\), on a \(f(3)=1 \), \(g(3)=21\) et \(h(3)=2\).
Pour \(x=-2\), on a \(f(-2)\) n'existe pas, \(g(-2)=16\) et \(h(-2)=-3\).
Pour \(x=1\), on a \(f(1)\) n'existe pas, \(g(1)=1\) et \(h(1)=6\).
Aide
L'ordonnée du point d'abscisse \(x=a\) par la fonction \(f\) est le nombre \(f(a)\).
Solution
Les ordonnées correspondant au point d'abscisse \(x=3\) sont \(f(3)=\sqrt{3-2}=1\), \(g(3)=3\cdot 3^2-2\cdot 3=21\) et \(h(3)=\frac{6}{3}=2\).
Les ordonnées correspondant au point d'abscisse \(x=-2\) sont \(f(-2)\) n'existe pas car \(-2\not\in\mbox{ Dom }f\), \(g(-2)=3\cdot (-2)^2-2\cdot (-2)=16\) et \(h(-2)=\frac{6}{-2}=-3\).
Les ordonnées correspondant au point d'abscisse \(x=1\) sont \(f(1)\) n'existe pas car \(1\not\in\mbox{ Dom }f\), \(g(1)=3\cdot 1^2-2\cdot 1=1\) et \(h(1)=\frac{6}{1}=6\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(d) Déterminez l'abscisse correspondant aux points d'ordonnées \(y=0\), \(y=1\) et \(y=-2\) par les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\).
Réponse
Pour \(y=0\), on a \(f(2)=0\), \(g(0)=0\) et \(g(\frac{2}{3})=0\), \(h\) n'est jamais nulle.
Pour \(y=1\), on a \(f(3)=1\), \(g(1)=1\) et \(g(-\frac{1}{3})=1\), \(h(6)=1\).
Pour \(y=-2\), on a \(f\) n'est jamais négative, \(g\) n'est jamais égale à \(-2\), \(h(-3)=-2\).
Aide
Pour trouver l'abscisse du point d'ordonnée \(b\) par \(f\), il faut résoudre l'équation \(f(x)=b\).
Solution
On a
\(\begin{array}{ccc} f(x)=0\hspace{2cm} & g(x)=0\hspace{2cm} & h(x)=0 \\ \sqrt{x-2}=0\hspace{2cm} & 3x^2-2x=0\hspace{2cm} &\frac{6}{x}=0 \\ x=2\hspace{2cm} & x(3x-2)=0\hspace{2cm} &\mbox{impossible} \\ &x=0\mbox{ ou }x=\frac{2}{3}\hspace{2cm}& \end{array}\)
On a
\(\begin{array}{ccc} f(x)=1\hspace{2cm} & g(x)=1\hspace{2cm} & h(x)=1 \\ \sqrt{x-2}=1\hspace{2cm} & 3x^2-2x=1\hspace{2cm} &\frac{6}{x}=1 \\ x-2=1\hspace{2cm} & 3x^2-2x-1=0\hspace{2cm} &x=6 \\ x=3\hspace{2cm}&(x-1)(x+\frac{1}{3})=0\hspace{2cm}&\\ &x=1\mbox{ ou }x=-\frac{1}{3}\hspace{2cm}& \end{array}\)
On a
\(\begin{array}{ccc} f(x)=-2\hspace{2cm} & g(x)=-2\hspace{2cm} & h(x)=-2 \\ \sqrt{x-2}=-2\hspace{2cm} & 3x^2-2x=-2\hspace{2cm} &\frac{6}{x}=-2 \\ \mbox{impossible}\hspace{2cm} & 3x^2-2x+2=0\hspace{2cm} &-2x=6 \\ &\mbox{impossible}\hspace{2cm}&x=-3 \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.