Module : Repères et vecteurs

Exercice

Soit \(A=(4,4,4)\), \(B=(2,2,0)\) et \(M\) le milieu du segment reliant \(A\) et \(B\).  Donnez l'équation de la sphère centrée en \(M\) et passant par \(A\) et \(B\).

Réponse

\((x-3)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=6\)

Aide

Si \(P = (x_p,y_p,z_p)\) et \(Q = (x_q,y_q,z_q)\) alors les coordonnées du point \(M \), milieu du vecteur \(\overrightarrow{PQ} \) sont données par

\((x_m,y_m,z_m) = \left(\frac{1}{2} (x_p + x_q),\frac{1}{2} (y_p+ y_q),\frac{1}{2} (z_p+ z_q)\right).\)

La sphère centré en \((x_c,y_c,z_c)\) et de rayon \(r\) a pour équation

\((x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2.\)

Solution

Les coordonnées du point \(M \), milieu du vecteur \(\overrightarrow{AB} \) sont données par

\((x_m,y_m,z_m) = \left(\frac{1}{2} (4+2),\frac{1}{2} (4+2),\frac{1}{2} (4+0)\right)=(3,3,2).\)

Le rayon de la sphère passant par \(A\) et centrée en \(M\) est la distance entre \(A\) et \(M\), à savoir

\(r=\sqrt{(4-3)^2+(4-3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.\)

Finalement, la sphère centrée en \(M=(3,3,2)\) et de rayon \(r=\sqrt{6}\) a pour équation

\((x-3)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=6.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici et ici.


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Théorie