Théorie du module : Logique
Table des matières
- Propositions
- Connecteurs logiques
- Tautologie ou loi logique
- Quantificateurs logiques
- Réciproque et contraposée
- Théorèmes et méthodes de démonstration
- Exemples détaillés
Tautologie ou loi logique
Pour démontrer qu'une proposition composée est une tautologie, on construit sa table de vérité et on constate que la dernière colonne est formée uniquement de \(V\).
Par exemple, les propositions
\(\begin{array}{c} \neg(\neg p)\Leftrightarrow p\\ \neg (p\wedge\neg p) \\ (p\wedge q)\Leftrightarrow(q\wedge p) \\ (p\vee q)\Leftrightarrow(q\vee p) \end{array} \)
sont des tautologies. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve ici.
La proposition \(((P\wedge Q)\, \vee\, R)\Leftrightarrow(P\wedge(Q\, \vee\, R))\) n'est pas une tautologie car quand on regarde les tables de vérité, on remarque que la dernière colonne n'est pas composée uniquement de \(V\). Cette affirmation est donc vraie ou fausse selon les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &R&P\wedge Q&(P\wedge Q)\vee R&Q\vee R&P\wedge(Q\vee R)&((P\wedge Q)\vee R)\\ &&&&&&&\Leftrightarrow(P\wedge(Q\vee R))\\ \hline V&V&V&V&V&V&V&V\\ V&V&F&V&V&V&V&V\\ V&F&V&F&V&V&V&V\\ V&F&F&F&F&F&F&V\\ F&V&V&F&V&V&F&F\\ F&V&F&F&F&V&F&V\\ F&F&V&F&V&V&F&F\\ F&F&F&F&F&F&F&V\\ \hline \end{array}\)