Théorie du module : Calcul algébrique
Table des matières
- Priorité des opérations
- Règle des parenthèses
- Produit
- Fractions
- Proportions et règle de trois
- Pourcentages
- Puissances n-ième
- Racine n-ième
- Valeur absolue et distance
- Moyennes
- Exemples détaillés
Puissances n-ième
(a) Définition
Lorsqu'on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, comme \(2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2\), \(n\) fois (où \(n\) est entier positif), on définit la puissance \(n^{\text{ième}}\) de 2. On notera ce nombre \(2^n\) qu'on peut aussi lire comme "2 exposant \(n\)".
\(a^n = a\cdot a\cdot \, \dots \,\cdot a, \ (n \text{ facteurs}, n >1).\)
Pour tout \(a \in {\mathbb{R}_0}\), \(n \in {\mathbb{N}_0}\), on a
Par exemple, on a \(10^0 = 2^0 = 8^0 = 1\), \(12^1 =12\), \(3^4 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\), \(\pi^2 = \pi \cdot \pi\),
\(3^{-4} =\dfrac{1}{3^4} =\dfrac{1}{81}\), \(0^3 = 0^{10} = 0\).
Remarque :
- \(0^0\) n'est pas défini.
- Toute puissance d'un réel positif est positive.
- Toute puissance d'un réel négatif est positive si l'exposant est pair et négative si l'exposant est impair.
(b) Propriétés
Les puissances entières vérifient les propriétés suivantes : pour tout \(a , b \in {\mathbb{R}_0}\ ,\ m , n \in\mathbb{Z}\), on a
Par exemple \( (2\cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3\), \(\left(\dfrac{4}{7}\right)^2 =\dfrac{16}{49}\), \((10^2)^3 = 10^6\), \(2^3 \cdot 2^2 =2^5\), \(\dfrac{2^3}{2^4} =\dfrac{1}{2}\).
On peut étendre la notion de puissance à des exposants fractionnaires.