Théorie du module : Inégalités

Propriétés des inégalités

Dans \(\mathbb{R}\), nous avons une relation d'ordre. Quand on travaille avec des inégalités, il faut connaître les règles suivantes : soit \(a,\, b,\, c,\, d\) des nombres réels. On a

  1. Si \(a>b\) et \(b>c\), alors \(a>c\).
  2. Lorsqu'on ajoute un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si \(a>b\), alors \(\; a+c > b+c\).
    Lorsqu'on retranche un même nombre des deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si \(a>b\), alors \(\; a-c>b-c\).
  3. Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inégalité
    1. par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
      si \(a>b\) et \(c>0\), alors \(a\cdot c>b\cdot c\);
    2. par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire :
      si \(a>b\) et \(c<0\), alors \(a\cdot c<b\cdot c\).
  4. Lorsqu'on divise les deux membres d'une inégalité
    1. par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
      si \(a>b\) et \(c>0\), alors \(\displaystyle\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)\(c\neq 0\);
    2. par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire : si \(a>b\) et \(c<0\), alors \(\displaystyle\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)\(c\neq 0\).
  5. Lorsqu'on additionne membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens que les précédentes :
    si \(a>b\) et \(c>d\), alors \(a+c>b+d\).
  6. Lorsqu'on soustrait membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une inégalité dont le sens est celui de la première inégalité :
    si \(a>b\) et \(c<d\), alors \(a-c>b-d\).
  7. Lorsqu'on passe à l'inverse, on change le sens de l'inégalité : si \(0<a<b\), alors \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\).

Inéquations

Définitions - Une inéquation est une inégalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs données aux variables qu'elle contient. Ces variables sont les inconnues de l'inéquation et les valeurs qui vérifient l'inéquation sont appelées les solutions de l'inéquation. Deux inéquations sont équivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement.

 

Par exemple, \(2x+1\geq 5\) est une inéquation où \(x\) est l'inconnue. N'importe quel nombre réel supérieur ou égal à \(2\) satisfait cette inégalité. Les solutions sont donc tous les nombres réels \(x\geq 2\).

On déduit des propriétés des inégalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudre des inéquations, c'est-à-dire en trouver les solutions.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont des expressions contenant ou non des inconnues et \(m\) est un nombre réel, alors

  1. Lorsqu'on ajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente à la première :
    1. les inéquations \(A>B\) et \(A+C>B+C\) sont équivalentes;
    2. les inéquations \(A>B\) et \(A-C>B-C\) sont équivalentes.
    Ceci revient à déplacer une quantité dans l'autre membre en changeant son signe.

    Par exemple, les inéquations \(2x-3>x-6\) et \(x-3\) sont équivalentes. Les inéquations \(2x+10>x-2\) et \(x+10>-2\) sont équivalentes.

  2. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre positif, on obtient une inéquation de même sens équivalente à la première :
    1. les inéquations \(A>B\) et \(A\cdot m>B\cdot m\) avec \(m > 0\) sont équivalentes;
    2. les inéquations \(A>B\) et \(\frac{A}{m}>\frac{B}{m}\) avec \(m > 0\) sont équivalentes.

    Par exemple, les inéquations \(\frac{x}{3}>6\) et \(x>18\) sont équivalentes. Les inéquations \(2x<4\) et \(x<2\) sont équivalentes.

  3. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre négatif, on obtient une inéquation de sens contraire équivalente à la première :
    1. les inéquations \(A>B\) et \(A\cdot m<B\cdot m\) avec \(m < 0 \) sont équivalentes;
    2. les inéquations \(A>B\) et \(\frac{A}{m}<\frac{B}{m}\) avec \(m < 0 \) sont équivalentes.

    Par exemple, les inéquations \(-\frac{x}{2}>4\) et \(x<-8\) sont équivalentes. Les inéquations \(-4x<12\) et \(x>-3\) sont équivalentes.

  4. Les solutions de l'inéquation \(A\cdot B >0\) (ou \(\displaystyle{A\over B} >0\)) sont les valeurs qui vérifient simultanément \(A>0\) et \(B>0\), ainsi que celles qui vérifient simultanément \(A<0\) et \(B<0\) : l'inéquation \(\displaystyle A\cdot B>0 \ \ (\text{ou }\ {A\over B}>0)\) se dissocie donc en \((A>0\) et \(B>0)\) ou \((A<0\) et \(B<0)\).

    Par exemple, l'expression

    \((x - 3)(x+2)>0 \mbox{ si } \begin{array}[t]{ccc} x-3>0 \mbox{ et } x+2>0&\mbox{ ou }&x-3<0 \mbox{ et } x+2<0 \\ x>3 \mbox{ et } x>-2&\mbox{ ou }&x<3 \mbox{ et } x<-2 \\ x>3&\mbox{ ou }&x<-2 \end{array}\)

    Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant :

    \(\begin{array}{c|ccccc} &&-2&&3& \\ \hline x-3&-&-&-&0&+ \\ x-2&-&0&+&+&+ \\ \hline (x-3)(x+2)&+&0&-&0&+ \\ \end{array} \)

    La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l'expression \((x-3)(x+2)\). Si \(x<-2\) alors l'expression est positive, si \(x=-2\) alors l'expression est nulle, si \(-2<x<3\) alors l'expression est négative et ainsi de suite.

  5. Les solutions de l'inéquation \(A\cdot B<0\) ou \((\displaystyle{A\over B}<0)\) sont les valeurs qui vérifient simultanément \(A>0\) et \(B<0\), ainsi que celles qui vérifient simultanément \(A<0\) et \(B>0\) : l'inéquation \(\displaystyle A\cdot B<0 \ \ (\text{ou } \ {A\over B}<0)\) se dissocie donc en \((A>0\) et \(B<0)\) ou \((A<0\) et \(B>0)\).

    L'expression

    \(\dfrac{x+1}{x-2}<0 \mbox{ si } \begin{array}[t]{ccc} x+1<0 \mbox{ et } x-2>0&\mbox{ ou }&x+1>0 \mbox{ et } x-2<0 \\ x<-1 \mbox{ et } x>2&\mbox{ ou }&x>-1 \mbox{ et } x<2 \\ \mbox{impossible}&\mbox{ ou }&x\in\, ]-1,2[ \end{array} \)

    Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant :

    \(\begin{array}{c|ccccc} &&-1&&2& \\ \hline x+1&-&0&+&+&+ \\ x-2&-&-&-&0&+ \\ \hline \frac{x+1}{x-2}&+&0&-&|&+ \end{array}\)

    La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l'expression \(\frac{x+1}{x-2}\). Cette expression n'est pas définie pour \(x=2\).

Remarque : Rappel sur les tableaux de signes :

L'équation \(ax+b=0\) a comme solution le nombre \(x=-\frac{b}{a}\). L'expression \(ax+b\) a le signe de \(x\) à droite de la racine et le signe contraire à gauche.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

L'équation \(ax^2+bx+c=0\) a zéro, une ou deux solutions. L'expression \(ax^2+bx+c\) a le signe de \(x^2\) partout sauf entre les racines lorsqu'il y en a deux.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Méthode de résolution -- Pour résoudre une inéquation :

  • Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à \(0\).
  • Ecrire le premier membre sous la forme d'une seule expression et faire le tableau de signes de cette expression.
  • En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation.

La solution est un intervalle ou l'union de plusieurs intervalles de \(\mathbb{R}\).

Remarque : Ne jamais supprimer le dénominateur dans une inéquation car celui-ci a un signe qui interviendra dans le signe de l'expression.

Exemples détaillés

  1. Résoudre l'inéquation \(\displaystyle -2x +1<-\frac{1}{2}\).

Solution détaillée :

\(-2x<-\frac{1}{2}-1\)

\(-2x<-\frac{3}{2}\)

\(x>\left( -\frac{1}{2}\right)\cdot \left( -\frac{3}{2}\right)\)

\(x>\frac{3}{4}\)

et donc la solution est \(S=\left]\frac{3}{4};+\infty\right[\).

 

  1. Résoudre l'inéquation \(\displaystyle \frac{x}{x-3}<2\).

Solution détaillée :

\(\dfrac{x}{x-3}-2<0\)

\(\dfrac{x-2(x-3)}{x-3}<0\)

\(\dfrac{-x+6}{x-3}<0\)

On effectue un tableau de signes de l'expression :

\(\begin{array}{c|ccccc} &&2&&3& \\ \hline x-2&-&0&+&+&+ \\ x-3&-&-&-&0&+\\ \hline x^2-5x+6&+&0&-&0&+ \end{array} \)

et donc la solution est \(S=]-\infty;3[\, \cup\, ]6; +\infty[\).

Remarque : Pour un rappel concernant la construction d'un tableau de signes, cliquez ici.

 

  1. Résoudre l'inégalité \(x^2-5x+6\leq 0\).

Solution détaillée : On factorise d'abord le membre de gauche

\((x-2)(x-3)\leqslant 0.\)

On sait que l'équation correspondante \((x-2)(x-3)=0\) a comme solution \(x=2\) et \(x=3\). On effectue un tableau de signes de l'expression :

\(\begin{array}{c|ccccc} &&&2&&3&\\ \hline x-2&-&0&+&+&+ \\ x-3&-&-&-&0&+ \\ \hline x^2-5x+6&+&0&-&0&+ \end{array}\)

et donc la solution est \(S=[2,3]\).

Remarque : La première étape consiste à factoriser l'expression \(x^2-5x+6\). Il faut ensuite construire un tableau de signes en utilisant les deux racines.

 

  1. Résoudre l'inéquation \(x^3+3x^2>4x\).

Solution détaillée : On commence par mettre tous les termes non nuls d'un côté du signe d'inégalité et on factorise

\(x^3+3x^2-4x>0\quad \mbox{ ou }\quad x(x-1)(x+4)>0.\)

De la même façon qu'à l'exemple précédent, on résoud l'équation correspondante \(x(x-1)(x+4)=0\) et on se sert des solutions \(x=-4\), \(x=0\) et \(x=1\) pour construire un tableau de signes :

\(\begin{array}{c|ccccccc} &&-4&&0&&1& \\ \hline x&-&-&-&0&+&+&+ \\ x-1&-&-&-&-&-&0&+\\ x+4&-&0&+&+&+&+&+ \\ \hline x^3+3x^2-4x&-&0&+&0&-&0&+ \end{array}\)

et donc \(S=\, ]-4,0[\,\cup\,]1;+\infty[\).

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la factorisation et les tableaux de signes.

 

  1. Déterminez le domaine de définition de la fonction \(\sqrt{\dfrac{x^2-x}{x^2-5x+6}}\).

Solution détaillée : Cette fonction existe à condition que

\(\dfrac{x^2-x}{x^2-5x+6}\geq 0 \quad \mbox{ ou }\quad \dfrac{x(x-1)}{(x-2)(x-3)}\geq 0.\)

On effectue un tableau de signes de l'expression :

\(\begin{array}{c|ccccccccc} &&0&&1&&2&&3& \\ \hline x&-&0&+&+&+&+&+&+&+ \\ x-1&-&-&-&0&+&+&+&+&+ \\ x-2&-&-&-&-&-&0&+&+&+ \\ x-3 -&-&-&-&-&-&-&-&0&+ \\ \hline \frac{x(x-1)}{(x-2)(x-3)}&+&0&-&0&+&|&-&|&+ \end{array}\)

et donc la solution est \(S=]-\infty;0]\cup [1, 2[\, \cup\, ]3; +\infty[\).

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la racine carrée, la factorisation et les tableaux de signes.

 

  1. Résoudre l'inéquation \(\mid x-\frac{1}{2}\mid <\frac{1}{2}\).

Solution détaillée :

\(-\frac{1}{2}<x-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}\)

\(x-\frac{1}{2}>-\frac{1}{2}\ \ \text{et }x-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}\)

\(x>0\ \ \text{et }\ x<1\)

La solution est donc \(S= \, ]0,1[\, \).

Remarque : La première ligne s'obtient en utilisant une propriété de la valeur absolue.

 

  1. Résoudre l'inéquation \(\mid x-1\mid\leq\mid x-2\mid\).

Solution détaillée : Par définition de la valeur absolue, on a

\(\mid x-1\mid=\left\lbrace \begin{array}{rcl} x-1 &\mbox{ si }& x\geq 1 \\ 1-x &\mbox{ si }& x<1 \end{array} \right. \)

et

\(\mid x-2\mid=\left\lbrace \begin{array}{rcl} x-2 &\mbox{ si }& x\geq 2 \\ 2-x &\mbox{ si }& x<2 \end{array} \right. \)

Il y a donc trois cas possibles :

Si \(x<1\) alors l'inéquation devient

\(1-x\leq 2-x\)

\(1\leq 2\)

ce qui est vérifié pour tout \(x\in \mathbb{R}\). On a donc une première solution

\(S_1=\mathbb{R}\, \cap\, ]-\infty; 1[\, =\, ]-\infty; 1[\, .\)

Si \(1\leq x<2\) alors l'inéquation devient

\(x-1\leq 2-x\)

\(2x\leq 3\)

\(x\leq \frac{3}{2}\)

Une deuxième solution est donc

\(S_2=\, \left] -\infty; \frac{3}{2}\right] \cap [1,2[\, =\left[ 1,\frac{3}{2}\right] .\)

Si \(x\geq 2\) alors l'inéquation devient

\(x-1\leq x-2\)

\(-1\leq -2\)

ce qui est impossible. On a donc une troisième solution

\(S_3=\emptyset\cap [2;+\infty[\, =\emptyset .\)

Finalement la solution de l'inéquation est donnée par

\(S=S_1\cup S_2\cup S_3=\, \left] -\infty;\frac{3}{2}\right] .\)

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la valeur absolue et l'union et l'intersection d'ensembles.

Preuves

 

L'expression \(ax+b\) a le signe de \(x\) à droite de la racine et le signe contraire à gauche.

L'expression \(ax+b\) peut encore s'écrire \(a(x+\frac{b}{a})\).

Si \(x=-\frac{b}{a}\) alors \(ax+b=0\).

Si \(x>-\frac{b}{a}\), c'est-à-dire si \(x\) est à droite de la racine, on a \((x+\frac{b}{a})>0\) et donc l'expression a le même signe que \(a\) (et donc que \(x\)).

Si \(x<-\frac{b}{a}\), c'est-à-dire si \(x\) est à gauche de la racine, on a \((x+\frac{b}{a})<0\) et donc l'expression a le signe contraire de \(a\) (et donc de \(x\)).

 

L'expression \(f(x)=ax^2+bx+c\) a le signe de \(x^2\) partout sauf entre les racines lorsqu'il y en a deux.

1er cas : \(b^2-4ac<0\). Dans ce cas, \(f(x)\) n'a pas de racine. L'expression peut s'écrire

\(f(x)=a\left( \left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \)

\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2>0\) et \(b^2-4ac<0\). On en déduit que

\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}>0\)

et donc \(f(x)\) a le même signe que \(a\) (et donc que \(x^2\)).

2ème cas : \(b^2-4ac=0\). Dans ce cas, \(f(x)\) a une seule racine. L'expression peut s'écrire

\(f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2\)

\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2>0\). Donc \(f(x)\) a le même signe que \(a\) (et donc que \(x^2\)).

3ème cas : \(b^2-4ac>0\). Dans ce cas, \(f(x)\) a deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\) (supposons \(x_1<x_2\)). L'expression peut s'écrire

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

\((x-x_1)(x-x_2)>0 \) si \(x<x_1\) ou \(x>x_2\)
     \((x-x_1)(x-x_2)<0\) si \(x_1<x<x_2\)

On en déduit que \(f(x)\) a le même signe que \(a\) partout sauf entre les deux racines \(x_1\) et \(x_2\).

 

Théorie