Théorie du module : Ensembles

Théorie des ensembles

(a) Définitions et propriétés

Définition - Un ensemble est une collection d'objets qui sont ses éléments.

On adopte souvent (mais pas obligatoirement) des lettres majuscules pour désigner les ensembles et des lettres minuscules pour désigner les éléments.

Définition - Si a est un élément de l’ensemble A, on dit que a appartient à A et on écrit

\(a\in A. \)

Si b n’est pas un élément de A, on dit que b n’appartient pas à A et on écrit

\(b\notin A.\)

La théorie des ensembles est en fait une théorie de cette relation d’appartenance. D’où l’importance de décrire avec précision un ensemble, de sorte qu’il n’y ait aucune ambiguïté sur l’appartenance ou la non appartenance d’un objet à cet ensemble.

Description d’un ensemble – Il y a essentiellement deux manières de décrire un ensemble : en extension et en compréhension.

  • en extension : la manière la plus simple de décrire un ensemble est de citer ses éléments. Ceux-ci sont écrits entre deux accolades et séparés les uns des autres par des virgules. L’ordre dans lequel ils figurent n’a pas d’importance.

Par exemple, l'ensemble \(A\) constitué des lettres \(a,\, b,\, c\) et \(d\) s'écrit

\(A=\{a,b,c,d\}.\)

  • en compréhension : si un ensemble comporte un grand nombre d'éléments, il est impossible de les énumérer et il faut dès lors recourir à une description sous forme de critère d'appartenance. Dans une telle situation, il est important de spécifier quel est l'ensemble initial, dit ensemble universel ou ensemble de référence, d'où proviennent les éléments.

Par exemple, l'ensemble des nombres \(x\) qui vérifient le critère \(x>5\) est différent selon que l'on admet pour \(x\) d'être entier ou rationnel :

\(A=\{x : x \mbox { entier et }\ x>5\},\)

\(B=\{x : x \mbox { rationnel et }\ x>5\},\)

ainsi,\(\frac{26}{5}\) est un élément de \(B\) et n'est pas un élément de \(A\).

 

Ensembles particuliers

  • l'ensemble vide qui, par définition, ne contient aucun élément. On le note \(\emptyset\). Ainsi, un ensemble défini par une proposition contradictoire est égal à l'ensemble vide.

Par exemple

\(A=\left\{x : x\in\mathbb{R} \mbox{ et }x^2+1=0\right\}=\emptyset.\)

  • un ensemble qui n'a qu'un élément s'appelle un singleton. C'est le cas de l'ensemble

    \(A=\{a\}\)

    car il n'y a qu'un objet, à savoir \(a\), pour lequel on puisse écrire \(a\in A.\)

Définitions - Si tous les éléments d'un ensemble \(A\) sont aussi les éléments d'un ensemble \(B\) (supposé non vide), on dit que \(A\) est inclus dans \(B\) et on écrit

\(A\subseteq B.\)

On dit aussi que \(A\) est un sous-ensemble de \(B\) ou que \(A\) est une partie de \(B\).

Par définition, on peut écrire

\(A\subseteq B\iff (\forall x)\,(x\in A\Rightarrow x\in B).\)

Par exemple, si \(A\) est l'ensemble des chiffres du système décimal et si \(B\) est l'ensemble des nombres pairs compris entre 2 et 8, on a

\(A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},\qquad B=\{2,4,6,8\}\)

et la relation \(B\subseteq A.\)

On vérifie sans peine que tout ensemble est inclus dans lui-même. Quel que soit l'ensemble \(A\), on peut écrire

\(A\subseteq A.\)

Une partie \(B\) de \(A\) qui serait distincte de \(A\) est appelée un sous-ensemble propre de \(A\) et on écrit une relation d'inclusion stricte

\(B\subset A.\)

L'égalité entre deux ensembles \(A = B.\) est réalisée s'ils ont exactement les mêmes éléments. Cette propriété est établie dès lors que l'on a vérifié qu'à la fois \(A\subseteq B.\) et \(B\subseteq A.\). C'est ainsi que démontrer l'égalité entre deux ensembles requiert souvent la démonstration de ces deux inclusions séparément.

Remarque : Il est important de bien saisir ce que représente la négation de l'inclusion : dès qu'au moins un élément de \(A\) n'est pas élément de \(B\) alors \(A\) n'est pas inclus dans \(B\), ou de manière équivalente

\(A \not\subseteq B \iff (\exists x)\,(x\in A \hbox{ et } x\not\in B).\)

Par exemple, l'ensemble \(A=\{ 3,4,5,6,7,8,10\}\) n'est pas un sous-ensemble de l'ensemble \(B\) des nombres pairs car \(A\) contient au moins un élément, par exemple \(7\), tel que \(7\in A\) et \(7\notin B.\)

La relation d'appartenance est une relation qui lie un ensemble à ses éléments. La relation d'inclusion est une relation qui lie deux ensembles. Ainsi, il n'y a pas de sens à écrire \(3\subset A.\) ou encore \(A\in B\) si \(A\) et \(B\) sont des ensembles.

Définition - Si d'un ensemble de référence \(U\), on extrait certains éléments pour former l'ensemble \(A\), on détermine en même temps l'ensemble complémentaire de \(A\) par rapport à \(U\), noté \(\, \overline A \). Cet ensemble \(\, \overline A \) est constitué des éléments de \(U\) qui n'ont pas été repris dans \(A\)

\(\, \overline A=\{x : x\in U \mbox{ et } x \notin A\}.\)

En particulier, \(\overline\emptyset=U\),\(\, \overline U=\emptyset\) et \(\overline{\overline A}=A\).

(b) Opérations entre ensembles

Effectuer des opérations sur deux ou plusieurs ensembles donnés permet d'en obtenir d'autres. Les principales opérations sont l'union, l'intersection et la différence.

Union et intersection d'ensembles

Définition - L'union de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l'un de ces ensembles

\(A\cup B=\{ x:x\in A \hbox{ ou } x\in B\}.\)

Par exemple

\(\{1,2\}\cup\{3,4\}=\{1,2,3,4\},\)

\(\{1,2,\}\cup \emptyset=\{1,2\}.\)

Définition - L'intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\)

\(A\cap B=\{ x:x\in A \hbox{ et } x\in B\}.\)

Par exemple

\(\{1,2,3\}\cap\{3,4,5\}=\{3\},\)

\(\{1,2,3\}\cap\emptyset=\emptyset.\)

Définition - Si deux ensembles n'ont aucun élément en commun, on dit qu'ils sont disjoints

\(A\cap B=\emptyset.\)

Par exemple

\(\{1,2\}\cap\{3,4,5\}=\emptyset.\)

Les lois de Morgan nous disent que le complément d'une intersection est la réunion des compléments et le complément d'une union est l'intersection des compléments :

Lois de Morgan : \(\overline {A\cap B}={\overline A}\cup{\overline B}, \\\overline {A\cup B}={\overline A}\cap{\overline B}.\)

 

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

 

Différence d'ensembles

Définition - On emploie la notation \(A\setminus B\) pour désigner l'ensemble des éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\)

\(A\setminus B=\{x: x\in A \hbox { et } x\notin B\}.\)

Il est clair que \(A\setminus B=A\cap {\overline B.}\)

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

 

Produit cartésien

Définition - Le produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\) est défini par

\(A\times B=\{(x,y): x\in A \hbox{ et } y\in B\}.\)

C'est l'ensemble des couples ordonnés \((x,y)\) que l'on peut former en prenant \(x\) dans \(A\) et \(y\) dans \(B\). La notation \(\times\) provient de ce que si \(A\) a 3 éléments et si \(B\) en a 2, l'ensemble \(A\times B\) en aura \(3\times 2=6.\)

Par exemple , si \(A=\{1,2,3\}\) et \(B=\{c,d\}\), alors

\(A\times B=\left\{(1,c),(1,d),(2,c),(2,d),(3,c),(3,d)\right\}.\)

Lorsque \(A=B=\mathbb{R}\), le produit cartésien de \(A\) par \(B\) est

\(A\times B=\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2=\{(x,y):x\in \mathbb{R} \hbox{ et }y\in\mathbb{R}\}.\)

Vocabulaire et notations :

  • \(\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\) représente l'ensemble constitué des \(n\) éléments \(a_1, a_2\cdots a_n\). Tous ces éléments sont distincts. L'ordre dans lequel ils sont cités n'est pas important.
    Dans le cas particulier où l'ensemble contient deux éléments, on parlera de paire \(\{a, b\}\). Si l'ensemble ne contient qu'un seul élément, on parlera de singleton \(\{a\}\).
  • \((a_1,a_2,\cdots, a_n)\)représente le \(n\)-uple formé des \(n\) éléments \(a_1,a_2\cdots a_n\). Ces éléments ne sont pas nécessairement distincts et sont considérés dans l'ordre indiqué.
    Dans le cas particulier où le \(n\)-uple contient deux éléments, on parlera de couple (\(a, b\)). Le couple (\(a, b\)) est différent du couple (\(b, a\)) (pour \(a\) différent de \(b\)). Si le \(n\)-uple contient trois éléments, on parlera de triple (\(a, b, c\)).
  • \(a_1, a_2, \cdots \)représente la suite \((a_n)_n\). Cette suite est constituée d'une infinité d'éléments, pas nécessairement distincts et considérés dans l'ordre indiqué.

Ensembles de nombres

(a) Des entiers naturels aux réels

Les nombres les plus familiers sont ceux qui servent à compter : \(0,1,2,3,\ldots\) (cette suite de nombres ne s'arrête jamais). Ils s'appellent entiers naturels. Ils sont entiers et positifs et leur ensemble est représenté par \(\mathbb{N}\)

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}.\)

Définition - Un nombre premier est un nombre entier naturel qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.

Par exemple, les nombres \(2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , \dots\) sont des nombres premiers.

Il existe aussi des nombres entiers négatifs comme \(-1,-2,-3,\ldots\). L'ensemble des nombres entiers, désigné par \(\mathbb{Z}\), se compose des entiers positifs, des entiers négatifs et de l'entier nul 0

\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-3,-1,0,1,2,3,\ldots\}.\)

La somme et le produit de deux nombres entiers sont des nombres entiers.

A côté des entiers, il y a aussi les nombres rationnels tels que \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{22}{7},-\frac{2}{3}, \ldots\), qui peuvent s'écrire comme le quotient \(\frac{p}{q}\) de deux entiers \(p\) et \(q\)\(q\ne 0\). Cet ensemble des nombres rationnels est noté \(\mathbb{Q}\). Un nombre rationnel admet une infinité de représentations car

\(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{4}{12}=\frac{33}{99}=\ldots\)

Cependant, un nombre rationnel est généralement noté sous la forme \(\frac{p}{q}\) dite irréductible, c'est-à-dire que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1). La division de \(p\) par \(q\) donne du nombre rationnel \(\frac{p}{q}\) son expression décimale. Cette expression comporte un nombre fini de décimales comme

\(\frac{1}{8}=0,125\)

(c'est le cas lorsque le dénominateur de la fraction ne renferme pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5) ou un nombre infini mais périodique de décimales comme

\(\frac{91}{110}=0,8\,27\,27\,27\ldots\)

Inversément, on peut montrer qu'un nombre décimal périodique (dont tous les chiffres décimaux ne sont pas des 9 à partir d'un certain rang) est engendré par la division de deux entiers, il est donc un nombre rationnel.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Il est clair qu'un nombre entier est un nombre rationnel car il peut être mis sous forme d'une fraction (par exemple \(4=\frac{4}{1}=\frac{8}{2}\)) ou sous forme décimale périodique (par exemple \(1=0,999999\ldots\)).

Enfin, les nombres dont la suite des chiffres décimaux est illimitée et non périodique sont appelés irrationnels: on entend par là qu'ils n'appartiennent pas à l'ensemble \(\mathbb{Q}\) car il est démontré qu'ils ne peuvent s'écrire comme le quotient de deux entiers. Tels sont par exemple \(\sqrt 2=1,41421356\ldots, \sqrt 3=1,73205080\ldots,\sqrt 5=2,23606797\ldots, \pi=3,14159265\ldots, e= 2,7182818285\ldots\). Cet ensemble de nombres (qui n'est pas désigné par un symbole particulier) joint à l'ensemble des rationnels constitue l'ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\).

Ces quatre ensembles de nombres sont liés par les inclusions

\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.\)

(b) Les nombres réels

Il est habituel de représenter un nombre réel par un point de la droite, appelée droite réelle. Sur cette droite, les nombres positifs figurent à droite du point associé à \(0\), appelé origine, et les négatifs à gauche de ce point.

 

Addition et multiplication

L'ensemble \(\mathbb R\) est doté de deux lois, l'addition ''+'' et la multiplication ''.'' qui le munissent d'une structure de corps commutatif. Cela signifie que les propriétes suivantes sont satisfaites.

  • Associativité. Pour tout \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\in \mathbb R\), on peut écrire

    \(\begin{array}{c} x_1+(x_2+x_3)=(x_1+x_2)+x_3, \\ x_1\cdot (x_2 \cdot x_3)=(x_1\cdot x_2)\cdot x_3. \end{array}\)

    Lorsque l'on écrit par exemple \(x_1+x_2+x_3\), la notation est a priori ambigüe car on ne sait pas si elle signifie \(x_1+(x_2+x_3)\) ou \((x_1+x_2)+x_3\). Mais pour une loi associative, cette ambiguïté n'a pas d'importance car, dans les deux cas, le résultat est le même.

 

  • L'Eléments neutres. Pour tout \(x\in \mathbb R\), on a

    \(\begin{array}{c} x+0=0+x=x, \\ x.1=1.x=x. \end{array}\)

 

  • Inverses. Pour tout \(x\in\mathbb R\), il existe \(y\in\mathbb R\) tel que \(x+y=y+x=0\), on note \(y=-x\);
    pour tout \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}\), il existe \(y\in\mathbb R\) tel que \(x.y=y.x=1\), on note \(y=1/x\).

 

  • Commutativité. Pour tout \(x_1\), \(x_2\in \mathbb R\), on a

    \(\begin{array}{c} x_1+x_2=x_2+x_1,\\x_1\cdot x_2=x_2\cdot x_1.\end{array}\)

 

  • Distributivité. Pour tout \(x_1, x_2, x_3\in \mathbb R\), on a

    \(\begin{array}{c} x_1\cdot(x_2+x_3)=(x_1\cdot x_2)+(x_1\cdot x_3), \\ (x_1+x_2)\cdot x_3=(x_1\cdot x_3)+(x_2\cdot x_3).\end{array}\)

L'ordre

L'ensemble \(\mathbb{R}\) est muni d'une relation \(x\leq y\) qui vérifie les propriétés suivantes.

  • Structure d'ordre. La relation est réflexive: pour tout \(x\in \mathbb R, x\leq x\);
    elle est transitive: pour tout \(x\), \(y\) et \(z\in \mathbb R\), (\(x\leq y\) et \(y\leq z\)) \(\Rightarrow x\leq z\);
    elle est antisymétrique: si \(x\leq y\) et \(y\leq x\), alors \(x=y\).

 

  • L'ordre est total. Pour tout \(x\) et \(y\in\mathbb R\), on a \(x\leq y\) ou \(y\leq x\).

 

  • L'ordre est compatible avec l'addition et la multiplication.
    Pour tout \(x\), \(y\) et \(z\in\mathbb R\), \(x\leq y\) implique \(x+z\leq y+z\);
    pour tout \(x\), \(y\), \(z\in\mathbb R\), si \(x\leq y\) et \(0\leq z\) alors \(x.z\leq y.z\).

 

Remarque : On notera indifféremment \(x\leq y\) ou \(y\geq x\). De même, on utilise les notations \(x<y\) pour signifier \(x\leq y\) et \(x\neq y\) et \(x>y\) pour signifier \(x\geq y\) et \(x\neq y\).

 

Notations

Nous utiliserons les notations suivantes~:
\(\mathbb R_0\) est l'ensemble des réels non nuls;
\(\mathbb R^+_0\) est l'ensemble des réels positifs, non nuls;
\(\mathbb R^+\) est l'ensemble des réels positifs ou nuls;
\(\mathbb R^-_0\) est l'ensemble des réels négatifs, non nuls;
\(\mathbb R^-\) est l'ensemble des réels négatifs ou nuls;
\(\mathbb N_0\) est l'ensemble des entiers positifs, non nuls.

(c) Infinis

Un des actes des plus familiers est celui de compter. Considérons l'ensemble \(\{a,b,c,d\}\) constitué des lettres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\). Compter, c'est établir une correspondance entre ces éléments et le début de la suite des entiers. Par exemple, on associe \(a\) à 1, \(b\) à 2, \(c\) à 3 et \(d\) à 4, et on dit que l'ensemble contient 4 éléments.

Il y a plus simple que le comptage : la comparaison, la mise en correspondance des éléments de deux ensembles. Considérons deux ensembles \(\{a,b,c,d\}\) et \(\{x,y,w,z\}\). On peut faire se correspondre les éléments de ces deux ensembles "un à un". Par exemple, on associe \(a\) à \(w\), \(b\) à \(x\), \(c\) à \(z\) et \(d\) à \(y\). De cette manière, chaque élément du premier ensemble a un et un seul correspondant dans le second ensemble, et réciproquement. On dit de cette correspondance qu'elle est bijective. On dit que deux ensembles \(A\) et \(B\) sont les "mêmes arithmétiquement" (c'est-à-dire qu'ils ont le même nombre d'éléments) s'il existe une correspondance bijective entre ces deux ensembles. Pour des ensembles finis, on peut toujours compter le nombre d'éléments de chaque ensemble (compter c'est créer une correspondance bijective avec une partie des entiers naturels). Pour des ensembles infinis, on n'a plus qu'un seul moyen de savoir si deux ensembles ont le même nombre d'éléments : établir une correspondance bijective entre eux.
Par exemple, il y a le même nombre d'entiers naturels pairs que d'entiers naturels : à chaque naturels, on peut faire correspondre son double et à chaque naturel pair on peut faire correspondre sa moitié. On obtient ainsi la correspondance bijective voulue. Il y a autant de nombre pairs que de naturels et il y a autant de nombres impairs que de nombres pairs, et donc que d'entiers...

Un ensemble qui est en correspondance avec l'ensemble des entiers naturels est dit dénombrable. On peut voir qu'il y a le même nombre de fractions que de nombres entiers naturels.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Cependant, tous les ensembles infinis ne sont pas dénombrables. Par exemple, l'ensemble \([0;1]\) de tous les nombres réels entre \(0\) et \(1\) est infini, mais il n'est pas dénombrable.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

(d) Intervalles

L'ensemble des nombres réels situés entre deux nombres \(a\) et \(b\) donnés, avec \(a<b\), constitue un intervalle. On distingue trois types d'intervalles:

  • l'intervalle ouvert\(]\,a,b\,[\) auquel les points \(a\) et \(b\), appelés extrémités, n'appartiennent pas. Il est défini par

\(]\,a,b\,[ =\{ x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a<x<b\}.\)

 

  • l'intervalle fermé \([\,a,b\,]\) auquel les points \(a\) et \(b\) appartiennent. Il est défini par

\([\,a,b\,] =\{ x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a\le x\le b\}.\)

 

  • l'intervalle semi-ouvert à droite \([\,a,b\,[\) ou l'intervalle semi-ouvert à gauche \(]\,a,b\,]\) définis par

\([\,a,b\,[ =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a\le x<b\},\)

\(]\,a,b\,] =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a< x\le b\}.\)

La longueur de ces intervalles est \(b-a\).

Les intervalles peuvent être infinis et on adopte alors les notations

\([\,a,+\infty[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que }a\le x\},\)

\(]\,a,+\infty[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a<x\},\)

\(]-\infty,a]=\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } x\le a\},\)

\(]-\infty,a[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } x<a\},\)

\(]-\infty,+\infty[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \}=\mathbb{R}.\)

Les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels et ne satisfont donc pas les règles habituelles du calcul algébrique. Ils sont introduits essentiellement pour faciliter les notations.

(e) Valeur approchée

Soit \(a\), \(b\) et \(x\in\mathbb{R}\). Les nombres \(a\) et \(b\) encadrent \(x\) si \(a<x<b\). La précision de cet encadrement est donnée par un nombre réel positif.

Définition - Soit \(a\), \(b\), \(x\in\mathbb{R}\) et \(\varepsilon>0\). Si \(a<x<b \hbox{ et } b-a=\varepsilon\), on dit que \(a\) est une valeur approchée par défaut de \(x\) à \(\varepsilon\) près et que \(b\) est une valeur approchée par excès de \(x\) à \(\varepsilon\) près.

Autrement dit, le nombre \(a\) est une valeur approchée par défaut de \(x\) à \(\varepsilon\) près si \(a< x<a+\varepsilon\), c'est-à-dire que \(x\in\, ]a, a+\varepsilon[\, \). De même le nombre \(b\) est une valeur approchée par excès de \(x\) à \(\varepsilon\) près si \(b-\varepsilon<x<b\), c'est-à-dire que \(x\in\, ]b-\varepsilon, b[\, .\)

 

Exemples détaillés

  1. Soit \(A = \{ x : 2x = 6 \}\) et soit \(b = 3\). Est-ce que \(A = b\) ?
    Solution détaillée : Non car \(A = \{ 3 \}\) est un ensemble, tandis que \(b = 3\) est un nombre réel.

     

  2. Démontrer que l'ensemble \(A = \{ 2 , 3 , 4 , 5 \}\) n'est pas un sous-ensemble de l'ensemble \(B = \{ x : x \hbox{ est un nombre impair} \}\)
    Solution détaillée : Ecrivons \(A\) et \(B\) en extension. On obtient \(A = \{ 2 , 3 , 4 , 5 \}\) et \(B = \{ 1, 3, 5, 7, 9,\ldots \}\). Donc \(A\not\subset B\) car il existe \(x\) tel que \(x\in A\) et   \(x\not\in B\). Par exemple \(2\in A\) et \(2\not\in B\).

     

  3. Démontrer que \((A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)\).
    Solution détaillée : On peut écrire

     

    \(\begin{array}{rcl} (A\cup B)\setminus C&=&\{x\, :\, (x\in A\mbox{ ou }x\in B)\mbox{ et }x\not\in C\},\\ &=&\{x\, :\, (x\in A\mbox{ et }x\not\in C)\mbox{ ou }(x\in B\mbox{ et }x\not\in C)\},\\ &=&\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\not\in C\}\cup\{x\, :\, x\in B\mbox{ et }x\not\in C\},\\ &=&(A\setminus C)\cup (B\setminus C). \end{array}\)

     

  4. Soient les ensembles \(A = \{ 1 , 2 , 3 \}\) et \(B =\{ 0 , 5 \}\). Ecrire en extension \(A \times B\).
    Solution détaillée : L'ensemble \(A \times B\) est formé de tous les couples dont le premier élément est dans \(A\) et le deuxième élément est dans \(B\). On a donc

     

    \(A \times B=\{ (1,0),\, (1,5),\, (2,0),\, (2,5),\, (3,0),\, (3,5)\}.\)

     

  5. Ecrire la fraction \(\frac{5}{4}\) sous forme décimale.
    Solution détaillée : On a \(\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}=1+\frac{25}{100}=1,25\).

     

  6. Ecrire la fraction \(-\frac{2}{9}\) sous forme décimale.
    Solution détaillée : En faisant la division euclidienne, on obtient \(-\frac{2}{9}=-0,22222\ldots\)

     

  7. Ecrire le nombre \(3,21\) sous forme de fraction.
    Solution détaillée: On peut écrire \(3,21=\frac{321}{100}\) et cette fraction est irréductible.

     

  8. Ecrire le nombre \(2,21134134134\ldots\) sous forme de fraction.
    Solution détaillée : Soit \(x=2,21134134134\ldots\)
    On a \(100x=221,134134134\ldots\) et \(100000x=221134,134134\ldots\) En soustrayant ces deux quantités, on obtient \((100000-100)x=220913\), c'est-à-dire \(99900x=220913\) et donc \(x=\frac{220913}{99900}\).

     

  9. Encadrer \(\pi\) au millième près.
    Solution détaillée: On a \(\pi=3,1415\ldots\) Le millième correspond au troisième chiffre après la virgule.
    On prend donc \(a=3,141\) et \(b=3,142\) et on obtient bien \(a<\pi<b\) avec \(b-a=0,001=10^{-3}\).

     

  10. Donner une valeur approchée par défaut de \(\frac{22}{7}\) au centième près.
    Solution détaillée: Par division euclidienne, on a \(\frac{22}{7}=3,1428\ldots\) Le centième correspond au deuxième chiffre après la virgule.
    On prend donc \(a=3,14\) et \(b=3,15\) et on obtient bien \(a<\frac{22}{7}<b\) avec \(b-a=0,01=10^{-2}\).
    Une valeur approchée par défaut de \(\frac{22}{7}\) est donc \(a=3,14\).

     

  11. A l'université sont organisés des cours libres d'anglais, d'économie et de statistique. Sachant que 122 étudiants suivent le cours d'anglais, 81 celui d'économie, 14 celui de statistique, 10 ceux d'anglais et d'économie, 6 ceux d'anglais et de statistique, 11 ceux de statistique et d'économie et enfin, 4 étudiants suivent les 3 cours, combien d'étudiants suivent le seul cours de statistique ?
    Solution détaillée: Soit \(A\) l'ensemble des étudiants du cours d'anglais, \(E\) celui des étudiants du cours d'économie et \(S\) celui des étudiants de statistique. A partir de l'énoncé, on peut construire le diagramme suivant :

    On en déduit que \(14-2-4-7=1\) seul étudiant suit seulement le cours de statistique.

     

Preuves

Lois de Morgan : \(\overline {A\cap B}={\overline A}\cup{\overline B},\\ \overline {A\cup B}={\overline A}\cap{\overline B}.\)

On a

\(A\cap B=\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\in B\}\)

et donc

\(\begin{array}{rcl} \overline {A\cap B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in (A\cap B)\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ ou }x\not\in B)\}. \end{array}\)

D'autre part,

\(\begin{array}{rcl} {\overline A}\cup{\overline B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in A\}\cup\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in B\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ ou }x\not\in B)\},\\ &=&\overline {A\cap B}. \end{array}\)

De même, on a

\(A\cup B=\{x\, :\, x\in A\mbox{ ou }x\in B\}\)

et donc

\(\begin{array}{rcl} \overline {A\cup B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in (A\cup B)\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ et }x\not\in B)\}. \end{array}\)

D'autre part,

\(\begin{array}{rcl} {\overline A}\cap{\overline B}&=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in A\}\cap\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }x\not\in B\},\\ &=&\{x\, :\, x\in U\mbox{ et }(x\not\in A\mbox{ et }x\not\in B)\},\\ &=&\overline {A\cup B}. \end{array}\)

 

 

 

\(A\setminus B=A\cap {\overline B}\)

Par définition, on a

\(A\setminus B=\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\not\in B\}.\)

Par ailleurs, on a aussi

\(A\cap {\overline B}=\{x\, :\, x\in A\mbox{ et }x\not\in B\}\)

et donc \(A\setminus B=A\cap {\overline B}\).

 

Un nombre décimal périodique (dont tous les chiffres décimaux ne sont pas des 9 à partir d'un certain rang) est engendré par la division de deux entiers, il est donc un nombre rationnel.

La démonstration consiste à observer qu'un nombre décimal périodique simple (sa période commence immédiatement après la virgule) dont la partie entière est nulle est engendré par une fraction dontle numérateur est la période et dont le dénominateur est formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période. Par exemple, \(0,375\,375\,375\ldots\) est engendré par la fraction \(\frac{375}{999}\). En effet: si \(x=0,375\,375\, 375\ldots\), alors

\(1000 x=375,375\,375\,375\ldots=375+0,375\,375\, 375\ldots=375+x\)

d'où

\(999 x=375.\)

 

 

L'ensemble \(\mathbb{Q}\) est dénombrable, c'est-à-dire qu'il y a le même nombre de fractions que de nombres entiers naturels.

Considérons le schéma suivant qui suggère un rangement des fractions en un tableau comportant une infinité de lignes et une infinité de colonnes :

\(\begin{array}{ccccccccc} 1/1 && 1/2&&1/3&&1/4 &&\ldots \\ \\ 2/1 && 2/2&&2/3&&2/4 &&\ldots \\ \\ 3/1 && 3/2&&3/3&&3/4 &&\ldots \\ \\ 4/1 && 4/2&&4/3&&4/4 &&\ldots \\ \\ \vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots&& \end{array}\)

L'idée d'une correspondance bijective entre l'ensemble des fractions et l'ensemble des naturels est de suivre le tableau des fractions "en diagonale" en prenant la suite :

\(1/1, \ 1/2, \ 2/1, \ 1/3, \ 2/2, \ 3/1, \ 1/4, \ 2/3, \ 3/2, \ 4/1, \ 1/5, \ \ldots \)

On a bien une numérotation des fractions par les entiers naturels. On peut voir ainsi que les nombres rationnels peuvent être numérotés, qu'il y en a donc une infinité dénombrable.

 

L'ensemble \([0,1]\) de tous les nombres réels entre \(0\) et \(1\) n'est pas dénombrable.}}\\[5mm]

Considérons l'ensemble \([0,1]\) de tous les nombres (rationnels ou irrationnels) entre \(0\) et \(1\) écrits en notation décimale illimitée. Par exemple \(1/3\) s'écrit \(0,33333\ldots\),\(1/4\) s'écrit \(0,250000\ldots\),\(\pi-3\) s'écrit \(0,14159\ldots\). Montrons que cet ensemble n'est pas dénombrable. On va raisonner par l'absurde : prenons une soi-disant bijection entre l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble \([0,1]\) et montrons qu'onarrive à une contradiction.
Supposons donc qu'il y ait une telle bijection. Il y aurait un premier nombre que l'on va écrire sous forme décimale:

\(x_1=0,a_1^1a_1^2a_1^3a_1^4\ldots\)

(\(a_1^1\)est la première décimale du premier nombre, \(a_1^2\) la deuxième décimale; la \(n^{e}\) décimale est notée \(a_1^{n}\)). Le deuxième nombre s'écrit:

\(x_2=0,a_2^1a_2^2a_2^3a_2^4\ldots\)

Le \(k^{e}\) nombre s'écrit:

\(x_k=0,a_k^1a_k^2a_k^3a_k^4\ldots\)

Et on continue indéfiniment. Cette soi-disant bijection doit reprendre tous les nombres de \([0,1]\). Montrons que ce n'est pas le cas.
En effet, on peut construire très facilement un nombre \(y\) de \([0,1]\) qui n'est pas repris dans l'énumération de la soi-disant bijection. Prenons le nombre \(y=0,b_1b_2b_3b_4\ldots\) dont:

  1. la première décimale \(b_1\) n'est pas la première décimale \(a_1^1\) de \(x_1\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_1\));
  2. la deuxième décimale \(b_2\) n'est pas la deuxième décimale \(a_2^2\) de \(x_2\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_2\));
  3. la troisième décimale \(b_3\) n'est pas la troisième décimale \(a_3^3\)de \(x_3\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_3\))
  4. et ainsi de suite \(\ldots\)
  5. la \(k^{e}\) décimale \(b_k\) n'est pas la \(k^{e}\) décimale \(a_k^k\) de \(x_k\) (on est donc sûr que \(y\) n'est pas \(x_k\))
  6. \(\ldots\)

Donc \(y\) n'est pas dans notre liste car pour tout \(k\) il diffère du \(k^{e}\) nombre de la liste au moins par sa \(k^{e}\) décimale. Quelle que soit la liste, énumérée par les entiers, il y a beaucoup de nombres qui ne sont pas dans la liste. L'ensemble \([0,1]\) n'est pas dénombrable.

Théorie