(a) \(\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} \right)\)

-10

Calculez le produit des éléments de la diagonale principale et soustrayez le produit des éléments de l'autre diagonale.

Le déterminant d'une matrice d'ordre 2 de la forme \(\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) est \(ad - bc \).

Le déterminant de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} \right)\) est donc \(3\cdot (-4) - 1\cdot(-2) = -10 \).

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

(b) \(\left(\begin{array}{ccc} -2&2&-3 \\ 3&-1&2 \\ 2&1&1 \end{array} \right)\)

-7

Commencez par échelonner la matrice.

Pour calculer le déterminant d'une matrice, on commence par l'échelonner :

\(\begin{array}{ll} & A = \left(\begin{array}{ccc} -2&2&-3 \\ 3&-1&2\\ 2&1&1 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{\begin{array}{l}L_2 \rightarrow L_2+\frac{3L_1}{2}\\L_3 \rightarrow L_3+L_1 \end{array}\right.\hspace{0.7cm} & A_1 = \left(\begin{array}{ccc} -2&2&-3 \\ 0&2&-\frac{5}{2} \\ 0&3&-2 \end{array} \right) \hspace{0.3cm} \text{et } \det(A) = 1\cdot 1\cdot\det(A_1) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3-\frac{3L_2}{2}\hspace{0.7cm} & A_2 = \left(\begin{array}{ccc} -2&2&-3 \\ 0&2&-\frac{5}{2} \\ 0&0&\frac{7}{4} \end{array} \right) \hspace{0.3cm} \text{et } \det(A) = 1\cdot 1\cdot 1\cdot\det(A_2) \end{array}\)

La matrice \(A_2\) est échelonnée et donc en particulier triangulaire supérieure. Son déterminant est donc le produit des éléments diagonaux : \(\det(A_2) = -2\cdot2\cdot\frac{7}{4} = -7\). On en déduit \(\det(A) = -7\).

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.