Module : Trigonométrie
Exercice
Une cathédrale se trouve au sommet d'une colline. En observant le sommet de la flèche depuis le pied de la colline, l'angle d'élévation est de \(48^{\circ}\). Si on l'observe de \(60\) mètres de la base de la colline, l'angle d'élévation de la flèche est de \(41^{\circ}\). La pente de la colline forme un angle de \(32^{\circ}\).
Calculez la hauteur de la cathédrale.
Réponse
Environ \(104,98\) mètres
Aide
Commencez par déterminer tous les angles.
Utilisez ensuite deux fois la Règle des sinus.
Solution
Le problème est représenté par le schéma suivant
Données : Les angles \(48^{\circ}\), \(41^{\circ}\) et \(32^{\circ}\) et la longueur \(60\) mètres.
Inconnue : La hauteur \(h\).
Commençons par rechercher les angles : \(\delta=48^{\circ}-32^{\circ}=16^{\circ}\), \(\alpha=180^{\circ}-48^{\circ}=132^{\circ}\), \(\beta=180^{\circ}-41^{\circ}-\alpha=7^{\circ}\), \(\theta=90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}\) et \(\gamma=180^{\circ}-\theta=122^{\circ}\).
Déterminons \(x\) à l'aide de la Règle des sinus. On a
\(\dfrac{\sin{\beta}}{60}=\dfrac{\sin{41^{\circ}}}{x}\)
d'où
\(x=\dfrac{\sin{41^{\circ}}}{\sin{\beta}}\cdot 60=\dfrac{\sin{41^{\circ}}}{\sin{7^{\circ}}}\cdot 60.\)
Déterminons \(h\) à l'aide de la Règle des sinus. On a
\(\dfrac{\sin{\gamma}}{x}=\dfrac{\sin{\delta}}{h}\)
d'où
\(h=\dfrac{\sin{\delta}}{\sin{\gamma}}\cdot x=\dfrac{\sin{16^{\circ}}}{\sin{122^{\circ}}}\cdot \dfrac{\sin{41^{\circ}}}{\sin{7^{\circ}}}\cdot 60\simeq 104,98.\)
La hauteur de la cathédrale est donc environ \(104,98\) mètres.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.