Module : Logarithmes et exponentielles
Exercice
Résolvez les équations suivantes
(a) \(16 - e^{2x} = 0\)
Réponse
\(S = \{\ln(4)\}\)
Aide
Prenez le logarithme népérien des deux côtés de \(16 = e^{2x}\).
Solution
Il n'y a aucune condition d'existence puisque \(e^{2x}\) existe quel que soit \(x\).
En prenant le logarithme népérien des deux côtés de l'égalité \(16 = e^{2x}\), on trouve
\(\ln{(16)}=2x\)
\(\ln{(4^2)}=2x\)
\(2\ln{(4)}=2x\)
\(x=\ln{(4)}.\)
La solution est \(S = \{\ln(4)\}\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(\ln(x) + \ln(3))\)
Réponse
\(S = \{3\}\)
Aide
Utilisez les propriétés des logarithmes.
Solution
Conditions d'existence : on doit avoir \(x + 3 > 0\) et \(x > 0\) pour que les logarithmes soient bien définis, donc \(x > 0\).
On utilise les propriétés des logarithmes pour calculer
\(\ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(\ln(x) + \ln(3))\)
\(\ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(\ln(3x))\)
\( \ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \ln(\sqrt{3x})\)
On peut alors prendre l'exponentielle des deux côtés et on trouve
\(\dfrac{x + 3}{2} = \sqrt{3x}\)
\(\left(\dfrac{x + 3}{2}\right)^2 = 3x\)
\(\dfrac{x^2 + 6x + 9}{4} = 3x\)
\(x^2+6x+9=12x\)
\(x^2-6x+9=0\)
\((x-3)^2=0\)
Ce qui nous donne \(x=3\), qui satisfait les conditions d'existence. Donc \(S = \{3\}\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \(\log_2(x) = 2\log_2(3) - \log_2(x - 5) + 2\)
Réponse
\(S = \{9\}\)
Aide
Utilisez les propriétés des logarithmes.
Solution
Conditions d'existence : il faut que \(x > 0\) et \(x - 5 > 0\) pour que les logarithmes soient bien définis, donc \(x > 5\).
On utilise les propriétés des logarithmes pour obtenir
\(\log_2(x) = 2\log_2(3) - \log_2(x - 5) + 2\)
\(\log_2(x) = \log_2(3^2) - \log_2(x - 5) + \log_2(4)\)
\(\log_2(x) = \log_2\dfrac{36}{x - 5}\)
On peut alors prendre l'exponentielle en base 2 des deux côtés pour avoir
\(x = \dfrac{36}{x - 5}\)
\(x^2 - 5x - 36 = 0\)
\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{169}}{2}\)
\(x = 9 \mbox{ ou } x = -4\)
La solution \(x=-4\) est à rejeter vu les conditions d'existence. Donc \(S=\{9\}\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.