Module : Logarithmes et exponentielles

Exercice

Résolvez les équations suivantes

(a) \(16 - e^{2x} = 0\)

Réponse

\(S = \{\ln(4)\}\)

Aide

Prenez le logarithme népérien des deux côtés de \(16 = e^{2x}\).

Solution

Il n'y a aucune condition d'existence puisque \(e^{2x}\) existe quel que soit \(x\).

En prenant le logarithme népérien des deux côtés de l'égalité \(16 = e^{2x}\), on trouve

\(\ln{(16)}=2x\)

\(\ln{(4^2)}=2x\)

\(2\ln{(4)}=2x\)

\(x=\ln{(4)}.\)

La solution est \(S = \{\ln(4)\}\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(\ln(x) + \ln(3))\)

Réponse

\(S = \{3\}\)

Aide

Utilisez les propriétés des logarithmes.

Solution

Conditions d'existence : on doit avoir \(x + 3 > 0\) et \(x > 0\) pour que les logarithmes soient bien définis, donc \(x > 0\).

On utilise les propriétés des logarithmes pour calculer

\(\ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(\ln(x) + \ln(3))\)

\(\ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(\ln(3x))\)

\( \ln\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = \ln(\sqrt{3x})\)

On peut alors prendre l'exponentielle des deux côtés et on trouve

\(\dfrac{x + 3}{2} = \sqrt{3x}\)

\(\left(\dfrac{x + 3}{2}\right)^2 = 3x\)

\(\dfrac{x^2 + 6x + 9}{4} = 3x\)

\(x^2+6x+9=12x\)

\(x^2-6x+9=0\)

\((x-3)^2=0\)

Ce qui nous donne \(x=3\), qui satisfait les conditions d'existence. Donc \(S = \{3\}\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(\log_2(x) = 2\log_2(3) - \log_2(x - 5) + 2\)

Réponse

\(S = \{9\}\)

Aide

Utilisez les propriétés des logarithmes.

Solution

Conditions d'existence : il faut que \(x > 0\) et \(x - 5 > 0\) pour que les logarithmes soient bien définis, donc \(x > 5\).

On utilise les propriétés des logarithmes pour obtenir

\(\log_2(x) = 2\log_2(3) - \log_2(x - 5) + 2\)

\(\log_2(x) = \log_2(3^2) - \log_2(x - 5) + \log_2(4)\)

\(\log_2(x) = \log_2\dfrac{36}{x - 5}\)

On peut alors prendre l'exponentielle en base 2 des deux côtés pour avoir

\(x = \dfrac{36}{x - 5}\)

\(x^2 - 5x - 36 = 0\)

\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{169}}{2}\)

\(x = 9 \mbox{ ou } x = -4\)

La solution \(x=-4\) est à rejeter vu les conditions d'existence. Donc \(S=\{9\}\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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Théorie