Module : Repères et vecteurs

Exercice

Un parallélipipède a comme arêtes concourantes les vecteurs (\(1,3,1\)), \(2,0,-1\)) et (\(-2,2,-1\)).  En admettant que les deux derniers vecteurs déterminent la base de ce parallélipipède, calculez son volume, l'aire de la base et la hauteur.

Réponse

Volume=18, aire de la base=6 et hauteur=3

Aide

Le nombre \(\| \vec u \times \vec v \| \) donne l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u \) et \(\vec v \)et \(|(\vec u \times \vec v) \odot \vec w|\) donne le volume du parallélipipède construit sur \(\vec u \), \(\vec v \) et \(\vec w \).

Solution

Soit \(\vec u=(2,0,-1) \), \(\vec v=(-2,2,-1)\) et \(\vec w=(1,3,1) \).

L'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u \) et \(\vec v \) est donnée par

\(\begin{array}{rcl} \| \vec u \times \vec v \|&=&\|(0\cdot (-1)-(-1)\cdot 2,(-1)\cdot (-2)-2\cdot (-1),2\cdot 2-(-2)\cdot 0)\|\\ &=&\|(2,4,4)\|=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6. \end{array}\)

Le volume du parallélipipède construit sur \(\vec u \), \(\vec v \) et \(\vec w \)est donné par

\(|(\vec u \times \vec v) \odot\vec w|=|(2,4,4)\odot (1,3,1)|=|2\cdot 1+4\cdot 3+4\cdot 1|=18. \)

On en déduit que la hauteur du parallélipipède est \(\frac{18}{6}=3 \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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