Module : Repères et vecteurs

Exercice

Si \(\vec{a}=(1,-2,1)\), \(\vec{b}=(-1,2,1)\)\(\vec{c}=(2,0,-1)\) et \(\vec{d}=(0,1,1)\), calculez \(\vec{a} \times \vec{b}\)\(\vec{c} \times \vec{d}\) et \((\vec{a} \times \vec{b}) \odot (\vec{c} \times \vec{d})\).

Réponse

\(\vec a\times\vec b=(-4,-2,0) \)
\(\vec c\times\vec d=(1,-2,2)\) 

\((\vec a\times\vec b)\odot(\vec c\times\vec d)=0\)

Aide

Soit \(\vec{u}=(u_x,u_y,u_z)\) et \(\vec{v}=(v_x,v_y,v_z) \). Les

composantes du vecteur \(\vec{u}\times\vec{v}\) sont données par

\(\vec{u}\times\vec{v}=(u_yv_z-u_zv_y,u_zv_x-u_xv_z, u_xv_y-u_yv_x)\)

et le produit scalaire est le nombre réel

\(\vec{u}\odot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.\)

Solution

On a

  • \(\vec a\times\vec b=(-2\cdot 1-2\cdot 1,1\cdot (-1)-1\cdot 1,1\cdot 2-(-1)\cdot (-2))=(-4,-2,0)\)
  • \(\vec c\times\vec d=(0\cdot 1-1\cdot (-1),-1\cdot 0-2\cdot 1,2\cdot 1-0\cdot 0)=(1,-2,2)\)
  • \((\vec a\times\vec b)\odot(\vec c\times\vec d)=(-4,-2,0)\odot (1,-2,2)=-4\cdot 1-2\cdot (-2)+0\cdot 2=0 \)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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