Module : Repères et vecteurs

Exercice

Déterminez \(\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\)\((2\vec{a} -5\vec{b})\) et \(||\vec{a}||\) pour

(a) \(\vec{a} = (1,2,-3), \ \vec{b}=(-4,0,1)\)

Réponse

\(\vec{a}+\vec{b}=(-3,2,-2) ,\\ \vec{a}-\vec{b}=(5,2,-4) , \\ (2\vec{a}-5\vec{b})=(22,4,-11) \\ \|\vec{a}\|=\sqrt{14} \)

Aide

Si \(\vec{a}=(x_a,y_a,z_a)\) et \(\vec{b}=(x_b,y_b,z_b)\) alors

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(x_a+x_b,y_a+y_b,z_a+z_b) \)
  • \(\vec{a}-\vec{b}=(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b)\)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(2x_a-5x_b,2y_a-5y_b,2z_a-5z_b)\)
  • \( \|\vec{a}\|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2} .\)

Solution

On a

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(1-4,2+0,-3+1)=(-3,2,-2) \)
  • \(\vec{a}-\vec{b}=(1+4,2-0,-3-1)=(5,2,-4) \)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(2,4,-6)-(-20,0,5)=(22,4,-11)\)
  • \(\|\vec{a}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\vec{a} = (3,-4,2), \ \vec{b}=(1,2,-5)\)

Réponse

\( \vec{a}+\vec{b}=(4,-2,-3) \\ \vec{a}-\vec{b}=(2,-6,7) \\ (2\vec{a}-5\vec{b})=(1,-18,29) \\ \|\vec{a}\|=\sqrt{29}\)

Aide

Si \(\vec{a}=(x_a,y_a,z_a)\) et \(\vec{b}=(x_b,y_b,z_b)\) alors

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(x_a+x_b,y_a+y_b,z_a+z_b) \)
  • \(\vec{a}-\vec{b}=(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b)\)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(2x_a-5x_b,2y_a-5y_b,2z_a-5z_b)\)
  • \( \|\vec{a}\|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2} .\)

Solution

On a

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(3+1,-4+2,2-5)=(4,-2,-3) \)
  • \( \vec{a}-\vec{b}=(3-1,-4-2,2+5)=(2,-6,7) \)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(6,-8,4)-(5,10,-25)=(1,-18,29) \)
  • \(\|\vec{a}\|=\sqrt{3^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(\vec{a} = (2,-1,4), \ \vec{b}=(1,0,-1)\)

Réponse

\( \vec{a}+\vec{b}=(3,-1,3) \\ \vec{a}-\vec{b}=(1,-1,5) \\ (2\vec{a}-5\vec{b})=(-1,-2,13) \\ \|\vec{a}\|=\sqrt{21} \)

Aide

Si \(\vec{a}=(x_a,y_a,z_a)\) et \(\vec{b}=(x_b,y_b,z_b)\) alors

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(x_a+x_b,y_a+y_b,z_a+z_b) \)
  • \(\vec{a}-\vec{b}=(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b)\)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(2x_a-5x_b,2y_a-5y_b,2z_a-5z_b)\)
  • \( \|\vec{a}\|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2} .\)

Solution

On a

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(2+1,-1+0,4-1)=(3,-1,3) \)
  • \( \vec{a}-\vec{b}=(2-1,-1-0,4+1)=(1,-1,5)\)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(4,-2,8)-(5,0,-5)=(-1,-2,13)\)
  • \(\|\vec{a}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(\vec{a} = (2,0,0), \ \vec{b}=(0,0,3)\)

Réponse

\( \vec{a}+\vec{b}=(2,0,3) \\ \vec{a}-\vec{b}=(2,0,-3) \\ (2\vec{a}-5\vec{b})=(4,0,-15) \\ \|\vec{a}\|=2 \)

Aide

Si \(\vec{a}=(x_a,y_a,z_a)\) et \(\vec{b}=(x_b,y_b,z_b)\) alors

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(x_a+x_b,y_a+y_b,z_a+z_b) \)
  • \(\vec{a}-\vec{b}=(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b)\)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(2x_a-5x_b,2y_a-5y_b,2z_a-5z_b)\)
  • \( \|\vec{a}\|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2} .\)

Solution

On a

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(2+0,0+0,0+3)=(2,0,3) \)
  • \( \vec{a}-\vec{b}=(2-0,0-0,0-3)=(2,0,-3)\)
  • \((2\vec{a}-5\vec{b})=(4,0,0)-(0,0,15)=(4,0,-15)\)
  • \(\|\vec{a}\|=\sqrt{2^2}=2\) 

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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