Théorie du module : Paraboles

Exemples détaillés

  1. Les points \((2,5)\), \((0,-4)\) et \((4,8)\) appartiennent-ils à la parabole \(P: y=3x^2-5x-4\) ?

Solution détaillée : On a

  • \((2,5)\not\in P\). En effet, quand on remplace \(x\) par \(2\) et \(y\) par \(5\) dans l'équation de \(P\), celle-ci n'est pas vérifiée puisque \(5\neq 3\cdot 2^2-5\cdot 2-4\);
  • \((0,-4)\in P\).  En effet, quand on remplace \(x\) par \(0\) et \(y\) par \(-4\) dans l'équation de \(P\), celle-ci est vérifiée puisque  \(-4=3\cdot 0^2-5\cdot 0-4\);
  • \((-1,4)\in P\).  En effet, quand on remplace \(x\) par \(-1\) et \(y\) par \(4\) dans l'équation de \(P\), celle-ci est vérifiée puisque  \(4=3\cdot (-1)^2-5(-1)-4\).

 

  1. Déterminer les intersections avec \(OX\) de la parabole \(y=6x^2+7x-3\).

Solution détaillée : On a \(a=6\), \(b=7\) et \(c=-3\).

Pour trouver les intersections de la parabole avec \(OX\), il faut résoudre l'équation \(6x^2+7x-3=0\). On calcule \(b^2-4ac=121=11^2\) et donc la parabole a deux intersections avec \(OX\) : \(x_1=\frac{-7+11}{12}=\frac{1}{3}\) et \(x_2=\frac{-7-11}{12}=-\frac{3}{2}\).
Pour plus de détails sur la résolution des équations du second degré, vous pouvez consulter la section Equations.

 

  1. On considère la parabole d'équation \(y=x^2-4x+7\). Donner les coordonnées du sommet, celles de l'axe de symétrie ainsi que ses intersections avec les axes \(OX\) et \(OY\).

Solution détaillée : On a \(a=1\), \(b=-4\) et \(c=7\).
Cette parabole a sa concavité tournée vers le haut puisque \(a>0\).
Son sommet a pour coordonnées \(S=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\right)=(2,3)\).
Son axe de symétrie a pour équation \(x=-\frac{b}{2a}\) et donc \(x=2\).
Ses intersections avec l'axe \(OX\) s'obtiennent en résolvant l'équation \(x^2-4x+7=0\). Vu que \(b^2-4ac=-12<0\), cette parabole n'a pas d'intersection avec l'axe \(OX\).
L'intersection avec l'axe \(OY\) s'obtient en remplaçant \(x\) par \(0\) dans l'équation de la parabole. On trouve \(y=7\) et donc l'intersection de la parabole avec \(OY\) est le point \((0,7)\).

 

  1. Parmi les paraboles d'équation \(y=2x^2+mx+p\), déterminer celle qui contient les points \((2,-1)\) et \((3,2)\).

Solution détaillée : Soit \(P\) la parabole d'équation \(y=2x^2+mx+p\).
Le point \((2,-1)\in P\) si \(-1=2\cdot 2^2+2m+p\), c'est-à-dire si \(p=-9-2m\).
Le point \((3,2)\in P\) si \(2=2\cdot 3^2+3m+p\), c'est-à-dire si \(p=-16-3m\).
Pour que les deux points soient sur la parabole, il faut donc que \(-9-2m=-16-3m\), c'est-à-dire que \(m=-7\). On en déduit que \(p=5\). La parabole recherchée a donc pour équation \(y=2x^2-7x+5\).

 

  1. Parmi les paraboles d'équation \(y=x^2+mx+p\), déterminer celle dont le sommet est \((-2,5)\).

Solution détaillée : On a \(a=1\), \(b=m\) et \(c=p\).

Le sommet est \((-2,5)\) si\(-\frac{m}{2}=-2\) donc si \(m=4\).
De plus, ce sommet appartient à la parabole et donc \(5=(-2)^2+4\cdot (-2)+p\), d'où \(p=9\).
La parabole recherchée a donc pour équation \(y=x^2+4x+9\).

 

  1. Déterminer \(m\) pour que la parabole d'équation \(y=x^2+(m+1)x+m\)
    1. soit tangente à \(OX\);
    2. passe par l'origine;
    3. ait l'axe \(OY\) comme axe de symétrie;
    4. ait pour sommet un point d'ordonnée \(-4\).

Solution détaillée : On a \(a=1\), \(b=m+1\) et \(c=m\)

  1. Pour que la parabole soit tangente à l'axe \(OX\), il faut que \(b^2-4ac=0\). On calcule

    \(b^2-4ac=(m+1)^2-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2.\)

    On en déduit que \(m=1\) et la parabole recherchée est \(y=x^2+2x+1\).
  2. Pour que la parabole passe par l'origine, il faut que \((0,0)\) satisfasse son équation. En remplaçant \(x\) par \(0\) et \(y\) par \(0\) dans l'équation, on trouve \(m=0\). La parabole recherchée est donc \(y=x^2+x\).
  3. L'axe \(OY\) est axe de symétrie de la parabole si \(-\frac{b}{2a}=0\), c'est-à-dire si \(-\frac{(m+1)}{2}=0\). On en déduit que \(m=-1\) et la parabole recherchée est \(y=x^2-1\).
  4. Le sommet a pour ordonnée \(-4\) si \(\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=-4\). Dans ce cas, \(\frac{-(m-1)^2}{4}=-4\), donc \((m-1)^2=16\) et \(m=5\) ou \(m=-3\). Il y a donc deux paraboles répondant à cette condition : \(y=x^2+6x+5\) et \(y=x^2-2x-3\).

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