Théorie du module : Droites

Exemples détaillés

  1. Les points \((2,5)\), \((0,-4)\) et \((4,8)\) appartiennent-ils à la droite \(D: y=3x-4\) ?

Solution détaillée : On a

  • \((2,5)\not\in D\). En effet, quand on remplace \(x\) par \(2\) et \(y\) par \(5\) dans l'équation de \(D\), celle-ci n'est pas vérifiée puisque \(5\neq 3\cdot 2-4\);
  • \((0,-4)\in D\) car \(-4=3\cdot 0-4\);
  • \((4,8)\in D\) car \(8=3\cdot 4-4\).

 

  1. Déterminer l'équation de la droite passant par les points \((1,2)\) et \((-3,6)\).

Solution détaillée : On obtient

\(y-2=\dfrac{6-2}{-3-1}(x-1)\)

c'est-à-dire \(y=-x+3\).

 

  1. Déterminer l'équation de la droite passant par les points \((-1,3)\) et \((7,3)\).

Solution détaillée : On a \(y_1=y_2=3\). Il s'agit donc d'une droite horizontale qui a pour équation \(y=3\).

 

  1. Déterminer l'équation de la droite passant par les points \((-1,3)\) et \((-1,-5)\).

Solution détaillée : On a \(x_1=x_2=-1\). Il s'agit donc d'une droite verticale qui a pour équation \(x=-1\).

 

  1. Les points \((0,-3)\), \((-2,7)\) et \((\frac{3}{2},0)\) appartiennent-ils à la même droite ?

Solution détaillée : Ces trois points n'appartiennent pas à la même droite. En effet, la droite \(D\) passant par \((0,-3)\) et \((-2,7)\) a pour équation

\(y-(-3)=\dfrac{7-(-3)}{-2-0}(x-0)\)

c'est-à-dire \(y=-5x+3\) et le point \((\frac{3}{2},0)\not\in D\).

 

  1. Ecrire l'équation cartésienne de la droite \(D\) définie par \(m=-2\) et \((1,0) \in D\).

Solution détaillée : Cette droite a pour équation \(y-0=-2(x-1)\) ou encore \(y=-2x+2\).

 

  1. Déterminer la pente de la droite \(3x-2y+4=0\).

Solution détaillée : En isolant \(y\) dans l'équation \(3x-2y+4=0\), on trouve \(y=\frac{3}{2}x+2\) et donc la pente (qui est le coefficient de \(x\) quand on a isolé \(y\)) vaut \(\frac{3}{2}\).

 

  1. Déterminer l'équation de la droite passant par \(P=(5,-7)\) qui est parallèle à la droite \(6x+3y=4\).

Solution détaillée : La pente de la droite donnée est \(-2\) car on peut écrire \(y=-2x+\frac{4}{3}\).

On recherche une droite d'équation\(y=-2x+ p \) passant par \(P=(5,-7)\).

  • Première résolution : \(p \) vérifie \(-7=-2\cdot 5+p\); d'où \(p=3\). L'équation de la droite cherchée est \(y=-2x+ 3 \)
  • Deuxième résolution : l'équation de la droite cherchée est \(y-y_1=-2(x-x_1) \), c'est-à-dire \(y-(-7)=-2(x-5) \) ou encore \(y=-2x+ 3 \).

 

  1. Déterminer l'équation de la droite passant par \(P=(5,-7)\) qui est perpendiculaire à la droite \(6x+3y=4\).

Solution détaillée : La pente de la droite \(6x+3y=4\) est \(-2\). La pente \(m\) de la droite cherchée vérifie l'égalité \(m .(-2)= -1\). Donc \(m \) vaut \(\frac{1}{2}\).
L'équation de la droite cherchée est : \(y-y_1=\frac{1}{2}(x-x_1) \), c'est-à-dire \(y-(-7)=\frac{1}{2}(x-5) \) ou encore \(y=\frac{1}{2}x-\frac{19}{2}\).

 

  1. Donner l'équation cartésienne de la droite \(D\) passant par le point \((2,-3)\) et qui est parallèle à \(D'\) qui passe par les points \((5,4)\) et \((6,2)\).

Solution détaillée : Cherchons d'abord l'équation de la droite \(D'\). Cette droite contient les points \((5,4)\) et \((6,2)\). Elle a donc pour équation \(y-4=\dfrac{2-4}{6-5}(x-5)\) ou encore \(y=-2x+14\).
La pente de \(D'\) vaut donc \(-2\) et comme \(D\) est parallèle à \(D'\), la pente de \(D\) vaut aussi \(-2\). On recherche alors une droite de pente \(-2\) passant par le point \((2,-3)\).
Cette droite a pour équation \(y-(-3)=-2(x-2) \) ou encore \(y=-2x+ 1\).

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