Module : Trigonométrie

Exercice

Un poteau haut de 12 mètres est planté sur le flanc d'une colline qui forme un angle de \(17^{\circ}\)  avec l'horizontale.

Calculez la longueur minimale d'un câble tendu entre le sommet du poteau et un point en contrebas distant de 21,6 mètres de la base du poteau.

Réponse

Environ 27,607 mètres

Aide

Commencez par déterminer tous les angles.

Utilisez ensuite la Règle des cosinus.

Solution

Le problème est représenté par le schéma suivant

Données : L'angle \(17^{\circ}\), les longueurs des côtés AB (=21,6 mètres) et BC (=12 mètres).

Inconnue : La longueur l.

Commençons par déterminer les angles : \(\alpha=17^{\circ}\)  (angles correspondants), \(\beta=90^{\circ}-17^{\circ}=73^{\circ}\)  (somme des angles intérieurs d'un triangle), \(\gamma=180^ {\circ}-\beta=107^ {\circ}\)  (angles supplémentaires).

Déterminons l en utilisant la Règle des cosinus dans le triangle ABC. On a

\(l^2=(21,6)^2+12^2-2\cdot 21,6\cdot 12\cdot \cos{107^{\circ}}\simeq 762,125\)

et  \(l\simeq 27,607\) mètres.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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