Module : Trigonométrie
Exercice
Un poteau haut de 12 mètres est planté sur le flanc d'une colline qui forme un angle de \(17^{\circ}\) avec l'horizontale.
Calculez la longueur minimale d'un câble tendu entre le sommet du poteau et un point en contrebas distant de 21,6 mètres de la base du poteau.
Réponse
Environ 27,607 mètres
Aide
Commencez par déterminer tous les angles.
Utilisez ensuite la Règle des cosinus.
Solution
Le problème est représenté par le schéma suivant
Données : L'angle \(17^{\circ}\), les longueurs des côtés AB (=21,6 mètres) et BC (=12 mètres).
Inconnue : La longueur l.
Commençons par déterminer les angles : \(\alpha=17^{\circ}\) (angles correspondants), \(\beta=90^{\circ}-17^{\circ}=73^{\circ}\) (somme des angles intérieurs d'un triangle), \(\gamma=180^ {\circ}-\beta=107^ {\circ}\) (angles supplémentaires).
Déterminons l en utilisant la Règle des cosinus dans le triangle ABC. On a
\(l^2=(21,6)^2+12^2-2\cdot 21,6\cdot 12\cdot \cos{107^{\circ}}\simeq 762,125\)
et \(l\simeq 27,607\) mètres.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.