Module : Trigonométrie
Exercice
Résolvez les équations suivantes
(a) \(2\sin^2{x}=1-\sin{x}\)
Réponse
\(S=\{\frac{\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{3\pi}{2}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Aide
Posez \(t=\sin{x}\) puis résolvez l'équation du second degré en \(t\).
Solution
\(2\sin^2{x}=1-\sin{x}\)
\(2\sin^2{x}+\sin{x}-1=0\)
Posons \(t=\sin{x}\). On obtient \(2t^2+t-1=0\) et donc \(t=\frac{1}{2}\) ou \(t=-1\).
\(\begin{array}{lcl} \sin{x}=\frac{1}{2}& ou &\sin{x}=-1\\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi& &x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\\ ou&&\\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi&& \end{array}\)
\(S=\{\frac{\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{3\pi}{2}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\cos{x}+\cos{2x}=0\)
Réponse
\(S=\{\frac{\pi}{3}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{3}+2k\pi,\, \pi+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Aide
Remplacez \(\cos{2x}\) par \(2\cos^2{x}-1\) puis posez \(t=\cos{x}.\)
Résolvez ensuite l'équation du second degré en \(t\).
Solution
\(\cos{x}+\cos{2x}=0\)
\(\cos{x}+2\cos^2{x}-1=0\)
Posons \(t=\cos{x}\). On obtient \(2t^2+t-1=0\) et donc \(t=\frac{1}{2}\) ou \(t=-1\).
\(\begin{array}{lcl} \cos{x}=\frac{1}{2}& ou &\cos{x}=-1\\ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi& &x=\pi+2k\pi\\ ou&&\\ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&& \end{array}\)
\(S=\{\frac{\pi}{3}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{3}+2k\pi,\, \pi+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.