Module : Trigonométrie
Exercice
Résolvez les équations suivantes
(a) \(\sin x = \sin{2x}\)
Réponse
\(S=\{k\pi,\, \frac{\pi}{3}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{3}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Aide
Utilisez la formule \(\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}\), puis mettez \(\sin{x}\) en évidence.
Solution
\(\sin{x}=\sin{2x}\)
\(\sin{x}-\sin{2x}=0\)
\(\sin{x}-2\sin{x}\cos{x}=0\)
\(\sin{x}(1-2\cos{x})=0\)
\(\begin{array}{lcl} \sin{x}=0& ou &1-2\cos{x}=0\\ x=k\pi& &2\cos{x}=1\\ &&\cos{x}=\frac{1}{2}\\ &&x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\, \, ou\, \, x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \end{array}\)
\(S=\{k\pi,\, \frac{\pi}{3}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{3}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(2\sin{3x}+\sqrt{2}=0\)
Réponse
\(S=\{\frac{7\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3},\, \frac{5\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3};\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Aide
Isolez \(\sin{3x}\) puis résolvez l'équation.
Solution
\(2\sin{3x}+\sqrt{2}=0\)
\(\sin{3x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\begin{array}{lcl} 3x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi& ou &3x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\ 3x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi& &3x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\\ x=\frac{7\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}& &x=\frac{5\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\\ \end{array}\)
\(S=\{\frac{7\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3},\, \frac{5\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3};\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \((\cos x+1)(1-2\sin x)(tg\, {2x}+1)=0\)
Réponse
\(S=\{\pi+2k\pi,\, \frac{\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{3\pi}{8}+k\pi,\, \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{7\pi}{8}+k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Aide
Un produit est égal à \(0\) si un de ses facteurs est nul.
Il y a donc trois cas possibles : \((\cos x+1)=0\) ou \((1-2\sin x)=0\) ou \((tg\, {2x}+1)=0\).
Solution
\((\cos{x}+1)(1-2\sin{x})(tg\, {2x}+1)=0\)
\(\begin{array}{lclcl} \cos{x}+1=0& ou &1-2\sin{x}=0& ou &tg\, {2x}+1=0\\ \cos{x}=-1& &2\sin{x}=1& &tg\,{2x}=-1\\ x=\pi+2k\pi&&\sin{x}=\frac{1}{2}&&2x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\ &&x=\frac{\pi}{6}+2k\pi &&x=\frac{3\pi}{8}+k\pi\\ && ou && ou\\ &&x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi &&2x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi \\ && && x=\frac{7\pi}{8}+k\pi\\ \end{array}\)
\(S=\{\pi+2k\pi,\, \frac{\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{3\pi}{8}+k\pi,\, \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{7\pi}{8}+k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.