Repères et vecteurs : Test de niveau 2

Un parallélipipède a comme arêtes concourantes les vecteurs (1,3,1), (2,0,-1) et (-2,2,-1). En admettant que les deux derniers vecteurs déterminent la base de ce parallélipipède, calculez son volume.

Dans un repère orthonormé dont l'unité est le centimètre, calculer \(b\) pour que le point (0,b) soit à \( \sqrt{5}\) cm du point (2,3).

Calculez \(\frac{1}{2}(2,3)-\frac{2}{5}(5,-1)\).

L'expression \( (\vec{a}\odot\vec{b})\vec{c}\) a-t-elle un sens ?

Soit \(A=(-4,\frac{1}{2})\), \(B=(3,-\frac{1}{3})\), \(C=(-\frac{1}{2},0)\) et \(D=(-3,-2)\). Calculez les coordonnées de \(E\) pour que \(\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\).

Donner le rayon du cercle de centre (1,2) et passant par le point (6,-1).

Soit \( A=(-4,\frac{1}{2})\), \( B=(3,-\frac{1}{3})\), \( C=(-\frac{1}{2},0)\) et \( D=(-3,-2)\). Calculez les coordonnées de \(E\) pour que \(\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BD}\).

L'intensité et la direction d'une force constante sont donnéespar \( \overrightarrow{a}= (2,5)\). Calculez le travail effectué si le point d'application de la force se déplace de l'origine au point P=(4,1).

Déterminez \(m\) en sachant que le point \(P=(2,1,5)\) est à une distance 7 du milieu du segment joignant \(A=(1,2,3)\) à \(B=(-1,6,m)\).

On considère trois points P, Q et R de coordonnées P=(-1,3,-5), Q=(2,k,-1) et R=(m,0,-8), avec k et m des nombres réels.

Déterminez les valeurs des paramètres k et m telles que le triangle de sommets P, Q et R soit rectangle en P, et les côtés PQ et PR soient de même longueur.