Module : Repères et vecteurs

Exercice

Déterminez si \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles pour

(a) \(\vec{a} = (2,0,5), \ \vec{b}=(-6,0,-15)\)

Réponse

Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) sont parallèles.

Aide

Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).

Solution

\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (2,0,5)=k(-6,0,-15) \end{array}\)

Le réel \(k=-\frac{1}{3}\) convient. On a \((2,0,5)=-\frac{1}{3}(-6,0,-15)\) et donc \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\vec{a} = (-1,3,7), \ \vec{b}=(2,-6,5)\)

Réponse

Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) ne sont pas parallèles.

Aide

Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).

Solution

\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (-1,3,7)=k(2,-6,5) \end{array}\)

Aucun réel \(k\) ne convient. Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) ne sont donc pas parallèles.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(\vec{a} = (2,0,0), \ \vec{b}=(0,3,0)\)

Réponse

Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) ne sont pas parallèles.

Aide

Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).

Solution

\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (2,0,0)=k(0,3,0) \end{array}\)

Aucun réel \(k\) ne convient. Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) ne sont donc pas parallèles.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(\vec{a} = (2,4,6), \ \vec{b}=(-1,-2,-3)\)

Réponse

Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) sont parallèles.

Aide

Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).

Solution

\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (2,4,6)=k(-1,-2,-3) \end{array}\)

Le réel \( k=-2 \) convient. On a \((2,4,6)=-2(-1,-2,-3)\) et donc \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)sont parallèles.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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