Module : Repères et vecteurs
Exercice
Déterminez si \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles pour
(a) \(\vec{a} = (2,0,5), \ \vec{b}=(-6,0,-15)\)
Réponse
Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) sont parallèles.
Aide
Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).
Solution
\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (2,0,5)=k(-6,0,-15) \end{array}\)
Le réel \(k=-\frac{1}{3}\) convient. On a \((2,0,5)=-\frac{1}{3}(-6,0,-15)\) et donc \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\vec{a} = (-1,3,7), \ \vec{b}=(2,-6,5)\)
Réponse
Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) ne sont pas parallèles.
Aide
Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).
Solution
\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (-1,3,7)=k(2,-6,5) \end{array}\)
Aucun réel \(k\) ne convient. Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) ne sont donc pas parallèles.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \(\vec{a} = (2,0,0), \ \vec{b}=(0,3,0)\)
Réponse
Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) ne sont pas parallèles.
Aide
Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).
Solution
\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (2,0,0)=k(0,3,0) \end{array}\)
Aucun réel \(k\) ne convient. Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) ne sont donc pas parallèles.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(d) \(\vec{a} = (2,4,6), \ \vec{b}=(-1,-2,-3)\)
Réponse
Les vecteurs \(\vec{a} \) et \(\vec{b}\) sont parallèles.
Aide
Les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont parallèles si et seulement si il existe \( k\in\mathbb{R}_0\) tel que \(\vec{a}=k\vec{b} \).
Solution
\(\begin{array}{rcl} \vec{a}\parallel\vec{b}&\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, \vec{a}=k\vec{b}\\ &\Leftrightarrow&\exists\, k\in\mathbb{R}_0\, :\, (2,4,6)=k(-1,-2,-3) \end{array}\)
Le réel \( k=-2 \) convient. On a \((2,4,6)=-2(-1,-2,-3)\) et donc \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)sont parallèles.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.