Module : Polynômes
Exercice
Factorisez les expressions suivantes
(a) \(8x+12y\)
Vérification
Distribuez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(8x + 12y \).
Réponse
\(8x + 12y=4(2x+3y)\)
Aide
Mettez \(4\) en évidence.
Solution
On a
\(8x + 12y=4\cdot 2x+4\cdot 3y=4(2x+3y).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(x^5-8x^3+16x\)
Vérification
Developpez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(x^5 - 8x^3 + 16x \).
Réponse
\(x^5 - 8x^3 + 16x=x(x^2-4)^2\)
Aide
Mettez \(x\) en évidence, puis effectuez le produit remarquable.
Solution
On a
\(\begin{array}{rcl} x^5 - 8x^3 + 16x&=&x(x^4-8x^2+16)\\ &=&x((x^2)^2-2\cdot x^2\cdot 4+4^2)\\ &=&x(x^2-4)^2 \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \(x-x^4\)
Vérification
Distribuez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(x - x^4 \).
Réponse
\(x - x^4=x(1-x)(1+x+x^2) \)
Aide
Mettez \(x\) en évidence, puis effectuez le produit remarquable.
Solution
On a
\(x - x^4=x(1-x^3)=x(1-x)(1+x+x^2).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(d) \(3(2-x)^2-3(x-2)^3\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(3(2 - x)^2 - 3(x - 2)^3 \).
Réponse
\(3(2 - x)^2 - 3(x - 2)^3=3(2-x)^2(3-x)\)
Aide
Transformez \(-3(x-2)^3\) en \(3(2-x)^3 \).
Mettez ensuite \(3(2-x)^2\) en évidence.
Solution
On a
\(\begin{array}{rcl} 3(2 - x)^2 - 3(x - 2)^3&=&3(2-x)^2+3(2-x)^3\\ &=&3(2-x)^2(1+2-x)\\ &=&3(2-x)^2(3-x) \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(e) \((x-y)^3-y^3\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \((x-y)^3-y^3 \).
Réponse
\((x-y)^3-y^3=(x-2y)(x^2+y^2-xy)\)
Aide
Utilisez le produit remarquable différence de deux cubes.
Solution
On a
\(\begin{array}{rcl} (x-y)^3-y^3&=&((x-y)-y)((x-y)^2+(x-y)y+y^2)\\ &=&(x-2y)(x^2+y^2-2xy+xy-y^2+y^2)\\ &=&(x-2y)(x^2+y^2-xy) \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(f) \(a^2-4b^2\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(a^2-4b^2 \).
Réponse
\(a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)\)
Aide
Utilisez le produit remarquable différence de deux carrés.
Solution
On a
\(a^2-4b^2=a^2-(2b)^2=(a-2b)(a+2b).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(g) \(8-12a+6a^2-a^3\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(8-12a+6a^2-a^3 \).
Réponse
\(8-12a+6a^2-a^3=-(a-2)^3\)
Aide
Mettez le signe "moins" en évidence.
Vous obtenez alors un produit remarquable.
Solution
On a
\(\begin{array}{rcl} 8-12a+6a^2-a^3&=&-(a^3-6a^2+12a-8)\\ &=&-(a^3-3\cdot a^2\cdot 2+3\cdot a\cdot 2^2-2^3)\\ &=&-(a-2)^3 \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(h) \(a^7-3a^5+3a^3-a\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(a^7-3a^5+3a^3-a \).
Réponse
\(a^7-3a^5+3a^3-a=a(a^2-1)^3\)
Aide
Groupez les premier et dernier termes ainsi que les deuxième et troisième termes.
Effectuez ensuite les produits remarquables (différence de deux cubes et différence de deux carrés).
Mettez finalement en évidence \(a(a^2-1) \).
Solution
On a
\(\begin{array}{rcl} a^7-3a^5+3a^3-a&=&(a^7-a)-(3a^5-3a^3)\\ &=&a(a^6-1)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a((a^2)^3-1^3)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a(a^2-1)((a^2)^2+a^2\cdot 1+1^2)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a(a^2-1)(a^4+a^2+1)-3a^3(a^2-1)\\ &=&a(a^2-1)(a^4+a^2+1-3a^2)\\ &=&a(a^2-1)(a^4-2a^2+1)\\ &=&a(a^2-1)((a^2)^2-2\cdot (a^2)\cdot 1+1^2)\\ &=&a(a^2-1)(a^2-1)^2\\ &=&a(a^2-1)^3 \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(i) \(4(a+b)^2-9b^2\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(4(a+b)^2-9b^2 \).
Réponse
\(4(a+b)^2-9b^2=(2a-b)(2a+5b)\)
Aide
Effectuez le produit remarquable différence de deux carrés.
Solution
On a
\(\begin{array}{rcl} 4(a+b)^2-9b^2&=&(2(a+b))^2-(3b)^2\\ &=&(2(a+b)-3b)(2(a+b)+3b)\\ &=&(2a+2b-3b)(2a+2b+3b)\\ &=&(2a-b)(2a+5b) \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(j) \(2x^2+x-6\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(2x^2+x-6 \).
Réponse
\(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\)
Aide
Calculez \( b^2-4ac \) pour trouver les racines de \(4x^2-8x-5 \).
Solution
On a \(b^2-4ac=49 \). Les deux racines sont \(x_1= \dfrac{-1+7}{4}= \dfrac{3}{2}\) et \(x_2= \dfrac{-1-7}{4}=-2 \).
On obtient
\(2x^2+x-6=2(x- \frac{3}{2})(x+2)=(2x-3)(x+2).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(k) \(1-6x+9x^2\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(1-6x+9x^2 \).
Réponse
\(1-6x+9x^2=(1-3x)^2\)
Aide
Effectuez le produit remarquable.
Solution
On a
\(1-6x+9x^2=1^2-2\cdot 1\cdot 3x+(3x)^2=(1-3x)^2.\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(l) \(4x^2-8x-5\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(4x^2-8x-5 \).
Réponse
\(4x^2-8x-5=(2x-5)(2x+1)\)
Aide
Calculez \(b^2-4ac\) pour trouver les racines de \(4x^2-8x-5 \).
Solution
On a \(b^2-4ac=144 \). Les deux racines sont \(x_1= \dfrac{8+12}{8}= \dfrac{5}{2}\) et \(x_2= \dfrac{8-12}{8}=- \dfrac{1}{2} \). On obtient
\(4x^2-8x-5=4(x- \frac{5}{2})(x+ \frac{1}{2})=(2x-5)(2x+1).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(m) \((a-b)^2+2x(a-b)+x^2\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \((a-b)^2+2x(a-b)+x^2 \).
Réponse
\((a-b)^2+2x(a-b)+x^2=(x+a-b)^2\)
Aide
Effectuez le produit remarquable.
Solution
On a
\((a-b)^2+2x(a-b)+x^2=(x+(a-b))^2=(x+a-b)^2.\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(n) \(a^2-8ab+16b^2\)
Vérification
Développez ce que vous avez obtenu. Cela doit donner \(a^2-8ab+16b^2 \).
Réponse
\(a^2-8ab+16b^2=(a-4b)^2\)
Aide
Effectuez le produit remarquable.
Solution
On a
\(a^2-8ab+16b^2=a^2-2\cdot a\cdot 4b+(4b)^2=(a-4b)^2.\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.