Théorie du module : Inégalités

Propriétés des inégalités

Dans \(\mathbb{R}\), nous avons une relation d'ordre. Quand on travaille avec des inégalités, il faut connaître les règles suivantes : soit \(a,\, b,\, c,\, d\) des nombres réels. On a

1. Si \(a>b\) et \(b>c\), alors \(a>c\).
2. Lorsqu'on ajoute un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si \(a>b\), alors \(\; a+c > b+c\).
   Lorsqu'on retranche un même nombre des deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si \(a>b\), alors \(\; a-c>b-c\).
3. Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inégalité
   1. par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
      si \(a>b\) et \(c>0\), alors \(a\cdot c>b\cdot c\);
   2. par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire :
      si \(a>b\) et \(c<0\), alors \(a\cdot c<b\cdot c\).
4. Lorsqu'on divise les deux membres d'une inégalité
   1. par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
      si \(a>b\) et \(c>0\), alors \(\displaystyle\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\) où \(c\neq 0\);
   2. par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire : si \(a>b\) et \(c<0\), alors \(\displaystyle\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\) où \(c\neq 0\).
5. Lorsqu'on additionne membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens que les précédentes :
   si \(a>b\) et \(c>d\), alors \(a+c>b+d\).
6. Lorsqu'on soustrait membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une inégalité dont le sens est celui de la première inégalité :
   si \(a>b\) et \(c<d\), alors \(a-c>b-d\).
7. Lorsqu'on passe à l'inverse, on change le sens de l'inégalité : si \(0<a<b\), alors \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\).