Module : Ensembles
Exercice
Ecrivez les ensembles suivants en extension et en compréhension
(a) \(\mathbb{N}\cap \mathbb{Z}\)
Réponse
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N} = \{0,1,2,3,...\}.\)
Aide
Les nombres naturels sont des entiers.
Solution
Les nombres naturels sont des entiers et donc \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}.\)
On a donc \(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N} = \{0,1,2,3,...\}.\)
Théorie
(b) \(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\)
Réponse
\(\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N} = \mathbb {Z^-_0}=\{...,-3,-2,-1\}\)
Aide
Retirez les entiers positifs ou nul de l'ensemble des entiers.
Solution
Si on retire les entiers positifs ou nul de l'ensemble des entiers, il reste les entiers strictement négatifs.
Donc \(\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N} = \mathbb {Z^-_0}=\{...,-3,-2,-1\}.\)
Théorie
(c) \(\mathbb{Z} \cap \mathbb{R^+}\)
Réponse
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{R^+} = \mathbb{Z^+} = \{0,1,2,3,...\}\)
Aide
On ne garde que les entiers positifs.
Solution
Si parmis tous les entiers, on ne garde que les nombres positifs, on obtient les entiers positifs.
Donc \(\mathbb{Z} \cap \mathbb{R^+} = \mathbb{Z^+} = \{0,1,2,3,...\}.\)
Théorie
(d) \(\mathbb{N} \cup \mathbb{Z}\)
Réponse
\(\mathbb{N} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z} = \{..., -2,-1,0,1,2,...\}\)
Aide
Les naturels sont des entiers.
Solution
Puisque les naturels sont des entiers, on a \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}.\)
Donc \(\mathbb{N} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z} = \{..., -2,-1,0,1,2,...\}.\)
Théorie
(e) \(\mathbb {R^-} \cap \mathbb {R^+}\)
Réponse
\(\mathbb {R^-} \cap \mathbb {R^+} = \{0\}\)
Aide
On garde le seul nombre à la fois positif et négatif.
Solution
Le seul nombre qui est à la fois positif et négatif est \(0\).
Donc \(\mathbb {R^-} \cap \mathbb {R^+} = \{0\}.\)
Théorie
(f) \(\mathbb {R^+_0} \cap \mathbb {R^-_0}\)
Réponse
\(\mathbb {R^+_0} \cap \mathbb {R^-_0} = \emptyset.\)
Aide
On ne garde que les nombres à la fois strictement positifs et strictement négatifs.
Solution
On ne garde que les nombres à la fois strictement positifs et strictement négatifs. Il n'y a aucun nombre qui satisfait ces deux conditions en même temps.
Donc \(\mathbb {R^+_0} \cap \mathbb {R^-_0} = \emptyset.\)