Module : Trigonométrie

Exercice

Une cathédrale se trouve au sommet d'une colline. En observant le sommet de la flèche depuis le pied de la colline, l'angle d'élévation est de \(48^{\circ}\). Si on l'observe de \(60\)  mètres de la base de la colline, l'angle d'élévation de la flèche est de \(41^{\circ}\). La pente de la colline forme un angle de \(32^{\circ}\).

Calculez la hauteur de la cathédrale.

Réponse

Environ \(104,98\) mètres

Aide

Commencez par déterminer tous les angles.

Utilisez ensuite deux fois la Règle des sinus.

Solution

Le problème est représenté par le schéma suivant

Données : Les angles \(48^{\circ}\)\(41^{\circ}\) et \(32^{\circ}\) et la longueur \(60\) mètres.

Inconnue : La hauteur \(h\).

Commençons par rechercher les angles : \(\delta=48^{\circ}-32^{\circ}=16^{\circ}\), \(\alpha=180^{\circ}-48^{\circ}=132^{\circ}\), \(\beta=180^{\circ}-41^{\circ}-\alpha=7^{\circ}\)\(\theta=90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}\) et \(\gamma=180^{\circ}-\theta=122^{\circ}\).

Déterminons \(x\) à l'aide de la Règle des sinus. On a

\(\dfrac{\sin{\beta}}{60}=\dfrac{\sin{41^{\circ}}}{x}\)

d'où

\(x=\dfrac{\sin{41^{\circ}}}{\sin{\beta}}\cdot 60=\dfrac{\sin{41^{\circ}}}{\sin{7^{\circ}}}\cdot 60.\)

Déterminons \(h\) à l'aide de la Règle des sinus. On a

\(\dfrac{\sin{\gamma}}{x}=\dfrac{\sin{\delta}}{h}\)

d'où

\(h=\dfrac{\sin{\delta}}{\sin{\gamma}}\cdot x=\dfrac{\sin{16^{\circ}}}{\sin{122^{\circ}}}\cdot \dfrac{\sin{41^{\circ}}}{\sin{7^{\circ}}}\cdot 60\simeq 104,98.\)

La hauteur de la cathédrale est donc environ \(104,98\) mètres.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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