Module : Logique
Exercice
Traduisez en mathématique les énoncés suivants
(a) Si \(a\) et \(b\) sont des entier naturels, il existe un multiple de \(a\) qui est supérieur à \(b\).
Réponse
\(\forall a \in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{N}, \exists k \in \mathbb{N} : ka \geq b. \)
Aide
Un multiple de \(a\) est un nombre de la forme \(ka\) avec \(k\in \mathbb{N}.\)
Solution
Cela signifie que si \(a \in \mathbb{N}\) et \( b \in \mathbb{N}\) sont des nombres quelconques, alors il existe un nombre de la forme \(ka\) (avec \(a \in\mathbb{N}\)) qui est suppérieur à \(b.\)
Et donc \((\forall a \in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{N}, \exists k \in \mathbb{N} : ka \geq b).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) Tout nombre réel positif admet une racine carrée.
Réponse
\(\forall x \in \mathbb{R^+}, \exists y \in \mathbb{R} : x = y^2.\)
Aide
La racine carré de \(x\) est un nombre \(y\) tel que \(x = y^2\)
Solution
Cela signifie que si \(x \in \mathbb{R^+}\) est un nombre quelconque, alors il existe un nombre réel \(y\) tel que \(y = \sqrt{x}\) ou encore \(y^2=x.\)
Et donc \((\forall x \in \mathbb{R^+}, \exists y \in \mathbb{R} : x = y^2).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.