Module : Logique
Exercice
Donnez la négation des propositions suivantes
(a) \(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x + y = 0.\)
Réponse
\(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y \neq 0.\)
Aide
Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on remplace \(\forall\) par \(\exists \) et \(\exists \) par \(\forall\) et on nie la propriété.
Solution
Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on remplace \(\forall\) par \(\exists \) et \(\exists \) par \(\forall\) et on nie la propriété.
La négation de
\(( \forall x\in\mathbb{R},\exists\, y\in\mathbb{R}\, :\, x+y=0 ) \)
est
\(( \exists\, x\in\mathbb{R},\forall y\in\mathbb{R}\, :\, x+y\neq 0 ).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) Les ensembles \(A\) et \(B\) ont au moins un élément en commun.
Réponse
\(A\cap B=\emptyset .\)
Aide
Si A et B n'ont pas au moins un élément en commun, c'est que tous leurs éléments sont différents.
Solution
La négation de la phrase "Les ensembles A et B ont au moins un élément en commun." est "Les ensembles A et B n'ont aucun élément en commun.'', ou encore \(A\cap B=\emptyset \).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) Tous les éléments de l'ensemble \(A\) sont des réels positifs. (où \(A \subseteq \mathbb{R}\))
Réponse
L'ensemble A contient au moins un réel strictement négatif.
Aide
Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on remplace \(\forall\) par \(\exists \) et \(\exists \) par \(\forall\) et on nie la propriété.
Solution
La proposition peut s'écrire
\(( \forall x\in A\, :\, x\in\mathbb{R}^+ ),\)
c'est-à-dire
\(( \forall x\in A\, :\, x\geq 0 ).\)
Pour nier une proposition contenant un quantificateur universel, on remplace ce quantificateur par le quantificateur existentiel et on nie la propriété.
La négation de cette proposition est
\(( \exists\, x\in A\, :\, x< 0 ).\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.