Théorie du module : Logique

Connecteurs logiques

L'opération qui consiste à relier les propositions "Pierre est philosophe" et "Pierre est mathématicien" par la conjonction "et" pour obtenir la proposition composée "Pierre est philosophe et mathématicien" est une opération logique binaire dont l'opérateur logique est la conjonction "et". On parle d'opération binaire parce qu'elle porte sur deux opérandes. On considère également une opération logique unaire qui porte sur un opérande. On utilisera une notation des opérations logiques semblable à la notation habituelle des opérations algébriques sur des nombres. D'autres notations sont possibles.

Chaque opération est décrite complètement si on donne la valeur de vérité du résultat pour toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité des opérandes. Une table reprenant les différentes combinaisons de valeurs de vérité des opérandes, à raison d'une par ligne, et dans une colonne le résultat correspondant est une présentation commode de l'opération. C'est la table de vérité de l'opération. Elle présente deux lignes dans le cas d'une opération unaire, 4 dans le cas d'une opération binaire.

(a) Négation d'une proposition: \(\neg p\)

La négation d'une proposition \(p\) est une proposition prenant la valeur de vérité opposée à celle de \(p\). On dira "non \(p\)" et on écrira \(\neg p\). Si \(p\) représente la proposition "vous savez", \(\neg p\) représente "non (vous savez)", ou encore "vous ne savez pas" ou "vous ignorez".

Les valeurs de vérité de \(\neg p\) en fonction de celles de \(p\) sont représentées dans la table de vérité ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|} \hline p&\neg p \\ \hline V&F \\ F&V \\ \hline \end{array}\)

On vérifie que la négation de la négation d'une proposition est cette proposition elle-même. On en retiendra que dans le langage courant, un nombre impair de négations équivaut à une négation.

(b) Conjonction de deux propositions : \(p \wedge q\)

Deux propositions reliées par le mot "et" forment une proposition composée appelée la conjonction des deux propositions. On dira "\(p\) et \(q\)" et on écrira \(p \wedge q\).

Les valeurs de vérité de \(p \wedge q\) en fonction de celles de \(p\) et \(q\) sont données dans la table de vérité ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q& p \wedge q \\ \hline V&V&V \\ V&F&F \\ F&V&F \\ F&F&F \\ \hline \end{array}\)

On observe que \(p \wedge q\) n'est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies, autrement dit il suffit que l'une des deux propositions soit fausse pour que leur conjonction soit fausse. Cette opération est commutative.

Remarque : La forme du symbole \(\wedge\) rappelle celle du symbole \(\cap\) qui désigne l'intersection. Ceci n'est pas un hasard : \(x\in A\cap B\) signifique que \(x\in A\) et \(x\in B\).

(c) Disjonction de deux propositions : \(p \vee q\)

Deux propositions reliées par le mot "ou" (au sens non exclusif du langage courant, c'est-à-dire au sens et/ou), forment une proposition composée appelée la disjonction des deux propositions. On dira "\(p\) ou \(q\)" et on écrira \(p \vee q\).

Les valeurs de vérité de \(p \vee q\) sont données dans la table ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q& p \vee q \\ \hline V&V&V \\ V&F&V \\ F&V&V \\ F&F&F \\ \hline \end{array}\)

On observe que \(p \vee q\) n'est fausse que lorsque les deux propositions le sont, autrement dit il suffit que l'une des deux propositions soit vraie pour que leur disjonction soit vraie. La disjonction est une opération commutative.

Remarque : Le "ou" des mathématiciens est un "ou" inclusif : \(p \vee q\) sera vraie lorsque \(p\) et \(q\) sont vraies toutes les deux. Dans le langage courant le "ou" est ambigu. Quand on dit "Pierre boit un coca ou regarde la télévision", on n'exclut pas la situation où "Pierre boit un coca et regarde la télévision". Par contre quand on lit "fromage ou dessert" dans le menu d'un restaurant, on sait que c'est soit l'un, soit l'autre, mais pas les deux. Pour éviter toute ambiguïté on devrait dire "soit\(\ldots\), soit\(\ldots\)".

Remarque : La forme du symbole \(\vee\) rappelle celle du symbole \(\cup\) qui désigne l'union. Ceci n'est pas un hasard : \(x\in A\cup B\) signifique que \(x\in A\) ou \(x\in B\).

(d) Proposition conditionnelle : \(p \Rightarrow q\)

La proposition \(p \Rightarrow q\) se lit "si \(p\) alors \(q\)", ou "\(p\) implique \(q\)", ou "il suffit que \(p\) pour que \(q\)", ou "\(p\) est une condition suffisante pour \(q\)". Dans \(p\Rightarrow q\), \(p\) est l'antécédent de l'implication et \(q\) le conséquent de l'implication.

On peut envisager une série de situations correspondant à un énoncé "si \(\dots\) alors \(\dots\)":

• pour indiquer une relation logique où le conséquent découle logiquement de l'antécédent :
  "Si \(\neg(\neg p)\) a la même valeur de vérité que \(p\) alors \(p\) peut remplacer \(\neg(\neg p)\)",
• pour indiquer une relation causale :
  "Si Pierre lache ce caillou alors il va tomber sur mon pied",
• pour indiquer qu'une certaine décision est prise par celui qui prononce la phrase si l'antécédent est vrai :
  "Si Pierre lache le caillou alors je lui flanque mon poing à la figure",
• pour signifier une implication définitionnelle. Le conséquent résulte de l'antécédent de par la définition de ce dernier (résulte d'une relation définitionnelle entre antécédent et conséquent) :
  "Si Pierre conduit une Golf, alors Pierre conduit une voiture",
• pour signifier l'implication purement matérielle sans qu'il y ait relation logique, causale ou définitionnelle entre antécédent et conséquent; on utilise une telle expression pour manifester son point de vue de manière sarcastique:
  "Si Pierre a 20/20 au test de mathématiques alors je chante comme la Callas".
  Le conséquent est manifestement faux, l'orateur veut ainsi insister sur le caractère faux de l'antécédent.

Les valeurs de vérité de \(p\Rightarrow q\) sont données dans la table de vérité ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p \Rightarrow q \\ \hline V&V&V \\ V&F&F \\ F&V&V \\ F&F&V\\ \hline \end{array}\)

On observe que \(p\Rightarrow q\) est fausse seulement dans le cas où \(p\) est vraie et \(q\) fausse. Pour vérifier que \(p\Rightarrow q\) est vraie, il suffira donc d'envisager le cas où \(p\) est vraie et de vérifier que \(q\) l'est aussi.

(e) Proposition biconditionnelle : \(p \Leftrightarrow q\)

La proposition \(p \Leftrightarrow q\), obtenue par l'opération logique appelée equivalence ou bi-implication, peut se formuler comme: "\(p\) si et seulement si \(q\)", ou "\(q\) si et seulement si \(p\)", ou "\(p\) est équivalent à \(q\)", ou "\(p\) est une condition nécessaire et suffisante pour \(q\)", ou "si \(p\) alors \(q\) et réciproquement".En écrivant \(p \Leftrightarrow q\) on met \(p\) et \(q\) mutuellement sous condition. Les valeurs de vérité de cette proposition sont données dans la table de vérité ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p \Leftrightarrow q \\ \hline V&V&V \\ V&F&F \\ F&V&F \\ F&F&V\\ \hline \end{array}\)

On observe que \(p \Leftrightarrow q\) est vraie seulement dans le cas où \(p\) et \(q\) ont la même valeur de vérité.